Ersatztest 2 - ITP TU Wien

Ersatztest 2: QT–UE WS 2005/2006
24. Februar 2006
Beispiel 1: Drehimpuls, Kopplungen, Wahrscheinlichkeiten
Ein Zweiteilchen–System besteht aus einem Spin– 32 –Teilchen und einem Spin– 12 –Teilchen deren räumliche Freiheitsgrade nicht berücksichtigt sind. Der zugehörige Hilbertraum H gesamt = C4 ⊗ C2 ist
daher 8–dimensional und wird von den orthonormierten Elementen | 32 , m; 21 , si der Produktbasis
1
3
E 2 ⊗ 2 aufgespannt,
E1⊗1 =
| m, si − 3 ≤ m ≤ + 3 , − 1 ≤ s ≤ + 1
2
|m, si =
| 23 , m; 21 , si
= |
2
3
, mi(1)
2
⊗|
2
1
, si(2)
2
2
wobei |m, si als Kurzschreibweise für die Elemente der Produktbasis aufgefasst wird. Die Faktoren
| 23 , mi(1) bzw. | 12 , si(2) der Elemente der Produktbasis sind als Elemente von Drehimpulsbasen Ej1
bzw. Ej2 mit j1 = 23 bzw. j2 = 12 zu verstehen. Beachte, dass Elemente | j, mi von Drehimpulsbasen
Ej = | j, mi − j ≤ m ≤ +j den folgenden Gleichungen zu genügen haben
J2 |j, mi = ~2 j(j + 1) |j, mi
Jz |j, mi = ~ m
p |j, mi
J± |j, mi = ~ (j ∓ m)(j ± m + 1) |j, m ± 1i
wobei J± = Jx ± iJy die entsprechenden Schiebeoperatoren darstellen. Der Hamiltonoperator H des
Zweiteilchen–Systems ist durch den folgenden Ausdruck gegeben
(2)
+
S
+
H = − ~1 S(1)
z
z
1
~3
(2)
S(1)
z + Sz
3
+
16
~4
S(1) . S(2)
2
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
wobei S(1) . S(2) = S(1)
x ⊗ Sx + Sy ⊗ Sy + Sz ⊗ Sz bedeutet, bzw. Sa + Sa = Sa ⊗ 1(2) + 1(1) ⊗ Sa
mit a = x, y, z zu verstehen ist.
1. Stelle den Hamiltonoperator H als Funktion des Gesamtdrehimpulsoperators S = [Sx , Sy , Sz ]T =
(2)
S(1) + S(2) und Sz = S(1)
z + Sz dar.
2. Berechne mit Hilfe der im folgenden angegebenen Clebsch–Gordan Koeffizienten die Eigenzustände | ( 23 12 )SMi des Gesamtdrehimpulses für S = 2 und S = 1,
3
P+ 12
1
3
, M − s; 1 , si
| ( 23 12 )SMi =
1 h 2 , M − s; 2 , s | SMi
2
2
s=−
2
dh. drücke die Elemente | ( 23 12 )SMi der Standardbasis explizit als Linearkombination der Elemente | m, si der Produktbasis aus.
q 1
j+ 2 +(−1)s−1/2 M
1
1
hj, M − s; 2 , s | j + 2 , Mi =
2j+1
q 1
j+ 2 −(−1)s−1/2 M
hj, M − s; 21 , s | j − 21 , Mi = (−1)s+1/2
2j+1
3. Verwende die Tatsache, dass die Eigenzustände | ( 23 12 )SMi des Gesamtdrehimpulses auch Eigenzustände des Hamiltonoperators H sind und berechne damit die Eigenwerte ESM von H.
Gib auch die Entartung der Eigenwerte samt zugehörigen Eigenvektoren an und ordne die EWe
entsprechend ihrer Größe beginnend mit dem kleinsten.
4. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung der z–Komponente des Spin– 32 –Teilchens
den Messwert + ~2 und bei der z–Komponente des Spin– 12 –Teilchens den Messwert − ~2 zu messen,
wenn sich das System im Grundzustand befindet.
Ersatztest 2: QT–UE WS 2005/2006
24. Februar 2006
Beispiel 2: Zeitunabhängige Störungstheorie
Ein Zweiteilchen–System besteht aus einem Spin– 32 –Teilchen und einem Spin– 12 –Teilchen deren räumliche Freiheitsgrade nicht berücksichtigt sind. Der zugehörige Hilbertraum H gesamt = C4 ⊗ C2 ist daher 8–dimensional und wird, wie in Beispiel 1, von den orthonormierten Elementen | 32 , m; 12 , si der
3 1
Produktbasis E 2 ⊗ 2 aufgespannt, wobei |m, si als Kurzschreibweise für die Elemente der Drehimpuls–
Produktbasis
aufgefasst
wird. Beachte
dabei wieder, dass Elemente | j, mi von Drehimpulsbasen
Ej = | j, mi − j ≤ m ≤ +j ihren Definitionsgleichungen zu genügen haben, die bereits in
Beispiel 1 angegeben sind.
Der Gesamt–Hamiltonoperator H(ξ) = H0 + W(ξ) des Zweiteilchen–Systems ist als Summe der
Operatoren H0 und W(ξ) = ξ W gegeben, wobei der Operator H0 den ungestörten Hamiltonoperator,
der Operator W(ξ) die Störung, bzw. ξ mit 0 < ξ < 1 einen dimensionslosen Parameter darstellt.
H(ξ) = H0 + W(ξ)
(2)
H0 = − ~4 S(1)
+
z + Sz
1 (1)
W = ~ Sz ⊗ 1(2)
1
~3
(2)
S(1)
z + Sz
3
+
16
~4
S(1) . S(2)
2
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
Beachte, dass S(1) . S(2) = S(1)
x ⊗ Sx + Sy ⊗ Sy + Sz ⊗ Sz bedeutet, bzw. Sa + Sa = Sa ⊗ 1(2) +
(2)
1(1) ⊗ Sa mit a = x, y, z zu verstehen ist.
1. Stelle den ungestörten Hamiltonoperator H0 als Funktion des Gesamtdrehimpulsoperators S =
(2)
[Sx , Sy , Sz ]T = S(1) + S(2) und Sz = S(1)
z + Sz dar. Beachte, dass H0 nicht identisch ist mit dem
Operator H vom 1. Beispiel.
2. Verwende die Tatsache, dass die Eigenzustände |( 23 12 )SMi des Gesamtdrehimpulses, die bereits
in Beispiel zu berechnen sind, auch Eigenzustände des Hamiltonoperators H0 sind und berechne damit die Eigenwerte ESM von H0 . Gib auch die Entartung der Eigenwerte ESM samt
zugehörigen Eigenvektoren an und ordne die EWe entsprechend ihrer Größe beginnend mit
dem kleinsten.
(0)
3. Berechne für die Grundzustandsenergie Emin
von H0 in 1.ter Ordnung zeitunabhängiger Störungstheorie für nicht–entartete Energieniveaus die Energiekorrektur ε(1)
min (ξ). Verwende dabei die
(1)
Formel εmin (ξ) = humin | W(ξ) | umin i, wobei | umini den Grundzustand darstellt.
(0)
von H0 in 1.ter Ordnung zeitunabhängiger
4. Berechne für den 1.ten angeregten Zustand Emin+1
Störungstheorie für entartete Energieniveaus die Energiekorrekturen ε(1)
min+1,ℓ (ξ) mit ℓ = 1, 2, . . ..
(1)
Beachte dabei, dass die Größen εmin+1,ℓ (ξ) die Eigenwerte jener Matrix sind, die dem Störoperator W(ξ) in der orthonormierten Eigenbasis von H0 zugeordnet ist, die von den Eigenzuständen
(0)
von H0 aufgespannt werden, die zum entarteten Energieeigenwert Emin+1
gehören.