Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld
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Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld Quantenmechanisches Seminar Daniel Geiss 17. Januar 2014 Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser 1 Hamiltonian Hamiltonian eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld Quantisierung des Strahlungsfeldes 2 Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkungsbild Übergänge 1.Ordnung 3 Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Spontane Emission Elektrische Dipolübergänge und Auswahlregeln Absorption & stimulierte Emission 4 Anwendung: Laser Laser 5 Quellen Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Hamiltonian eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld 1. Hamiltonian 1.1 Hamiltonian eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Hamiltonian eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld Teilchens mit Ladung e und Masse m im em. Feld: H= 1 e (p − A(x , t))2 + eφ(x , t) + V (x ) 2m c Im Folgenden sei V (x ) = V (r ) Für Mehrteilchen-System geht dieser Ausdruck in eine Summe über Aufspaltung in ungestörtes System und Kopplung an Strahlungsfeld: H = H0 + H I Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Hamiltonian eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld Ungestörtes System: H0 = X p i i 2 2m + V (x i ) Kopplung an das Strahlungsfeld: Z HI (t) = e2 e 2 ρ( x ) A ( x , t) + eρ( x )φ( x , t) d 3 x − j (x ) · A(x , t) + c 2mc 2 P Ladungsdichte: ρ(x ) ≡ x − x 0i ) i δ( P 1 Ladungsstromdichte: j (x ) ≡ i 2m (p δ(x − x 0i ) + δ(x − x 0i )p ) Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Quantisierung des Strahlungsfeldes 1.2 Quantisierung des Strahlungsfeldes Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Quantisierung des Strahlungsfeldes Betrachte freies Strahlungsfeld (φ = 0) in Coulomb-Eichung Homogene Wellengleichung: A = 0 Lösung: A(x , t) = X Ak (t)e i k ·x k Energie Strahlungsfeld: Z 1 V X 1 ˙ 2 3 2 2 2 HStr = d x(E + B ) = |Ak | + |k × Ak | 8π 8π c2 k Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Quantisierung des Strahlungsfeldes Vergleich mit 1d harmonischer Oszillator 1d harmonischer Oszillator mq̇ 2 mω 2 2 Hq Osz = 2 + 2 q q= ~ −iωt 2mω (ae + a† e iωt ) Strahlungsfeld P 1 ˙ 2 2 | A | + | k × A | k k k c2 V HStr = 2π P q 2π~c † i k · x −iω t ∗ −i k · x +iω t k k A(x , t) = k,λ kV ak,λ k,λ e + ak,λ k,λ e Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Quantisierung des Strahlungsfeldes Leiteroperatoren erfüllen Kommutatorrelationen: [ak,λ , ak† 0 ,λ0 ] = δk,k 0 δλ,λ0 † [ak,λ , ak 0 ,λ0 ] = [ak,λ , ak† 0 ,λ0 ] = 0 Hamiltonian vereinfacht sich zu: X 1 † HStr = ~ck ak,λ ak,λ + 2 k,λ besitzt nur ganzzahlige Eigenwerte und Eigenvektoren der Form: 1 |nk,λ i = √ (a† )nk,λ |0i nk,λ k,λ Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Quantisierung des Strahlungsfeldes Zusammenfassung System beschrieben durch Hamiltonian der Form: H = H0 + HStr + HI H0 = X p i 2 + V (x i ) 2m X 1 † = ~ck ak,λ ak,λ + 2 i HStr k,λ Z HI (t) = e e2 3 2 ρ(x )A (x , t)+eρ(x )φ(x , t) d x − j (x )·A(x , t)+ c 2mc 2 EZ von H0 und HStr bekannt! Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Wechselwirkungsbild 2. Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie 2.1 Wechselwirkungsbild Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Wechselwirkungsbild Betrachte Hamiltonian der Form: t < t0 : H = H0 t ≥ t0 : H = H(t) = H0 + V (t) H0 bezeichne zeitunabh. Hamiltonian mit bekannten EZ |mi |mi stationär unter Zeitentwicklung, d.h. |m, ti = e −iH0 t/~ |mi Für t ≥ t0 sind |mi keine EZ von H (folglich nicht stationär) Falls V(t) klein, dennoch sinnvoll |m, ti beizubehalten Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Wechselwirkungsbild Wechselwirkungs-Bild: |Ψ, tiI ≡ e iH0 t/~ |Ψ, ti Bewegungsgleichung: i~ ∂ |Ψ, tiI = VI (t) |Ψ, tiI , ∂t VI (t) = e iH0 t/~ V (t)e iH0 t/~ Lösung: Neumann-Reihe |Ψ, tiI = 1+ Z tn−1 Z Z t1 ∞ X 1 n t dt1 dt2 ... dtn V (t1 )...V (tn ) |Ψ, tiI i~ t0 t0 t0 n=1 Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Übergänge 1.Ordnung 2.2 Übergänge 1.Ordnung Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Absorption & stimulierte Emission 3.3 Absorption & stimulierte Emission Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Absorption & stimulierte Emission Absorption Strahlungsfeld: Anfangszustand bestehe aus nk,λ Photonen der Art (k , λ) & der Endzustand aus nk,λ − 1 Photonen Atom: Anfangszustand sei |ni & der Endzustand |mi analoge Rechnung: Γabs n→m = nk,λ (2π)2 e 2 δ(Em − En − ~ck) hm| k,λ j (−k ) |ni 2 Vck Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Absorption & stimulierte Emission Emission Strahlungsfeld: Anfangszustand bestehe aus nk,λ Photonen der Art (k , λ), Endzustand aus nk,λ + 1 Photonen Atom: Anfangszustand |mi, Endzustand |ni analoge Rechnung: Γem m→n = (nk,λ +1) (2π)2 e 2 δ(En +~ck −Em ) hn| ∗k,λ j (k ) |mi 2 Vck Für nk,λ = 0 geht dieser Ausdruck in den Fall der spontanen Emission über 1. Term wird als ”stimulierte Emission”bezeichnet Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Laser 4. Anwendung: Laser Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Laser Funktionsweise Verstärkungsmedium: em. Welle wird durch induzierte Emission verstärkt Pumpenergie: erzeugt Besetzungsinversion Resonatorspiegel: mehrmaliges Durchlaufen des Mediums Hamiltonian Reminder: Zeitabhängige Störungstheorie Wechselwirkung: Materie & elektromagnet. Strahlung Anwendung: Laser Quellen F. Schwabl: Quantenmechanik (QM I), § 16.4 A. S. Dawydow: Quantenmechanik, § 94/95 T. Weigand: Skript zu theoretischen Quantenmechanik, § 4.4 T. Wettig: Skript zur Quantenmechanik II, § 1.5 M. R. Gaberdiel: Skript zur Quantenmechanik II, § 2 http://physik.wikia.com/wiki/LASER http://www2.uni-siegen.de/ agthiel/e/laser.htm
