Der Hamilton-Operator ei - Humboldt

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Physik
AG Theoretische Optik & Photonik
www.physik.hu-berlin.de/top/teaching
Statistische Physik
SoSe 2017, Blatt 10a
20. Juni 2017
Prof. Dr. Kurt Busch
1. Zeitabhängiger Zustandsoperator
(3+3 Punkte)
~ = (0, 0, B)
Der Hamilton-Operator eines Spin-1/2 Systems in einem Magnetfeld B
lautet
Ĥ = µB Ŝz .
Dabei ist µ das magnetische Moment des Spin-Systems und Ŝz der Spin-Operator in
z-Richtung. Für die Eigenzustände |z±i von Ŝz gilt
~
Ŝz |z±i = ± |z±i,
2
hz ± |z±i = 1,
hz ± |z∓i = 0.
(a) Zur Zeit t = 0 sei das Spin-System in x-Richtung polarisiert, d.h.
|ψ(t = 0)i = |x+i mit Ŝx |x+i =
~
|x+i.
2
Geben Sie den Zustandsoperator Ŵ sowohl in der Basis {|z±i} als auch in der Basis
{|x±i} an. Bestimmen Sie den Wert der Entropie zur Zeit t = 0. Interpretieren Sie
das Ergebnis.
(b) Verwenden Sie den Zeitentwicklungsoperator Û (t) = exp(− ~i Ĥt) zur Bestimmung
des zeitabhängigen Zustandsoperator Ŵ (t) und damit dann hŜx i(t), hŜy i(t) und
hŜz i(t).
– bitte wenden –
2. Thermische Ausdehnung eines Moleküls: Störungsrechnung
(3+6 Punkte)
Ein zwei-atomiges Molekül, das in einem Kristall eingebettet ist, besitze nur noch einen
Schwingungsfreiheitsgrad. Das Bindungspotential der Atome enhalte ferner einen anharmonischen Term, so dass der Hamilton-Operator lautet
Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,
wobei Ĥ0 =
p̂2
1
+ mω02 x̂2
2m 2
und V̂ = αx̂3 .
Die Eigenzustände und Energieeigenwerte von Ĥ0 seien bekannt
Ĥ0 |ni = En |ni mit hn|n0 i = δnn0 .
Betrachten Sie die Wirkung des Kristalls als die eines Wärmebads mit Temperatur T
(kanonische Gesamtheit).
(a) Berechnen Sie die Zustandsumme Z0 sowie die freie Energie F0 des ungestörten
Systems Ĥ0 .
Bestimmen Sie die Korrektur F1 zur freien Energie in 1. Ordnung Störungstheorie
n
o
1
1 −β Ĥ0
e
.
und β =
F1 = Tr Ŵ0 V̂
mit Ŵ0 =
Z0
kT
Hinweis: Verwenden Sie
r
x̂ =
~
â† + â .
2mω0
(b) In 1. Ordnung Störungstheorie ist ein thermischer Mittelwert hAi gegeben durch
(siehe Vorlesung)
n
o
n
o
n
o
hAi = Tr Ŵ Â = Tr Ŵ0 Â + Tr Ŵ1 Â ,
Z β
Ŵ1 = −Ŵ0
dβ 0 V̂ (β 0 ) − hV i0 .
0
n
o
Gesucht ist die mittlere Ausdehnung hxi = Tr Ŵ x̂ des Moleküls in 1. Ordnung
Störungstheorie.
n
o
Berechnen Sie zunächst Tr Ŵ0 x̂ und zeigen Sie sodann, dass
∞
e−βEn
1 X 0
hn |V̂ |nihn|x̂|n0 i
Z0 n,n0 =0
En − En0
n
o
Tr Ŵ1 x̂ =
!
+ (komplex konjugiert) .
Gewinnen Sie daraus
1
Tr Ŵ1 x̂ = −const. sinh
Z0
n
o
X
∞
1
β~ω0
m2 e−β~ω0 m ,
2
m=1
und führen Sie die Summe aus.
Wie verläuft hxi für 0 ≤ T < ∞ für α < 0 (Qualitative Betrachtung)?
Besprechung in den Tutorien in der KW 26