Quantenmechanik I WS 2005/06 (Hausübung 11) (abzugeben am

Quantenmechanik I
WS 2005/06 (Hausübung 11)
(abzugeben am Donnerstag, den 26.01.2006)
1. Anharmonischer Oszillator (6 Punkte)
Gegeben sei ein anharmonischer Oszillator mit dem Hamilton-Operator H =
H0 + H1 , wobei H0 =
p2
2m
+
mω 2 2
x
2
4
der harmonische Anteil ist, der durch einen
anharmonischen Part H1 = λx (0 < λ ¿ mω 2 ) gestört wird. Berechnen Sie die
(0)
Energien En des Oszillators, bestehend aus dem harmonischen Anteil En und
(1)
(0)
(1)
dem Term En aus der Störungstheorie erster Ordnung, d.h. En = En + En .
(Hinweis: Verwenden Sie den darstellungsfreien Formalismus, d.h. drücken Sie
den Hamilton-Operator H0 und H1 in Form der Auf- und Absteigeoperatoren
aus und verwenden Sie als Basis die Eigenzustände des Anzahloperators.)
2. Entartete Störungstheorie (5 Punkte)
Betrachten Sie ein zweifach entartetes Energieniveau. Geben Sie die Energieverschiebung und die Energieaufspaltung in 1. Ordnung (entarteter) Störungstheorie
an, wobei der Störterm im Hamilton-Operator mit H1 bezeichnet sei. Berechnen
Sie die in erster Ordnung korrigierten Zustände des Systems. Vergleichen Sie die
Größenordnung der Energieaufspaltung mit dem nicht-entarteten Fall.
3. Wasserstoffatom (5* Bonuspunkte)
In wieviele Energieniveaus wird das ν = 3 Niveau eines Wasserstoffatoms mit
³ 2 ´2
(0)
e
bei Anlegen eines schwachen homogenen elektrischen FelEνlm = − 2~m2 ν 2 4π²
0
(1)
des ~E aufgespalten? Drücken Sie die Energieänderungen E
in 1. störungstheo3lm
retischer Näherung durch die Matrixelemente des Störoperators H1 = e~E z aus.
(Hinweis: Die Säkulardeterminante lässt sich durch geschickte Anordnung der
Matrixelemente in ein Produkt zerlegen. Welche Matrixelemente verschwinden
aufgrund der Dipolauswahlregeln?)
4. Ritz’sches Variationsprinzip (5 Punkte)
Sie haben die Eingebung, dass die Grundzustandswellenfunktion des Coulombr
2
e
Potentials V = − 4π²
die Form h~r | ψ(µ)i = N e− µ hat. Finden Sie eine obere
0r
Schranke für E durch Minimierung von
E(µ) =
hψ(µ)| H |ψ(µ)i
.
hψ(µ) |ψ(µ)i
Wie groß ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert?
2
~ 2 .)
(Hinweis: H = − ~ ∆ + V (r) mit ∆ = ∂ 2 + 2 ∂r − 12 L
r
2m
r
r
5. Gebundene Zustände (4 Punkte)
Beweisen Sie, dass ein eindimensionales Potential V (x) mit
Z∞
V (x) ≤ 0 ∀x,
lim V (x) = 0 und
V (x) dx < 0
x→±∞
−∞
immer mindestens einen gebundenen Zustand E0 < 0 besitzt.
(Hinweis: Schätzen Sie E0 mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens (siehe Aufg. 4)
√
nach oben ab. Verwenden Sie als Testfunktion Ψα (x) = α e−α|x| mit α > 0.)
6. WKB-Methode (insg. 8* Bonuspunkte)
In der klassischen Mechanik lernt man die Hamiltonsche Wirkungsfunktion
W (x, t) als Lösung der Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung
H(x, p ≡
∂W
∂W
)+
=0
∂x
∂t
kennen, wobei H(x, p) die Hamiltonfunktion eines Systems ist. Im Rahmen der
semiklassischen Näherung erhält diese Funktion Einzug in die Quantentheorie:
(a) (4* Bonuspunkte)
Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion
¯
¯ 1
¯ ∂W (x, t) ¯− 2 i W (x,t)
¯ e~
ψ(x, t) = c ¯¯
∂x ¯
bis auf O(~2 ) der Schrödinger-Gleichung genügt und ebenfalls bis auf O(~2 )
ein Energieeigenzustand ist.
(b) (4* Bonuspunkte)
Berechnen und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x, t)|2 dx für
den Harmonischen Oszillator (H(x, p) =
p2
2m
+
mω 2 2
q )
2
in dieser Näherung.
Überzeugen Sie sich hierzu zunächst davon, dass
W (x, t) =
x
αmω 2
mω √
(x α − x2 + α arcsin √ ) −
t.
2
2
α
(Hinweise: Es ist zweckmäßig, |f (x)| = (2Θ(f (x))−1)f (x) zu schreiben, um dann
d
Θ(y)
dy
= δ(y) sowie δ(y)y = 0 zu verwenden. Bedenken Sie die physikalische
Bedeutung von α2 .)