Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Universität Regensburg
Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Prof. John Schliemann SS2010
Übungsleiter: Maxim Trushin, Magdalena Marganska-Lyzniak,
Björn Erbe, Tobias Lautenschlager
Kontakt: [email protected]
Übungsblatt 11
Abzugeben am 5.07.2010
1. Eine einfache Übung mit der Störungstheorie
Berechnen Sie in 1. Ordung Störungstheorie in λ die Eigenwerte des Hamiltonoperators H = H0 + H1 , wobei:
H0 =
mω 2 x2
p2x
+
,
2m
2
H1 = λx2
sind. Vergleichen Sie die Eigenwerte mit der exakten Lösung. Zeigen Sie dass die
beiden Lösungen gleich sind, wenn λ klein ist.
2 Punkte
2. Stark-Effekt am 2D Rotator
Berechnen Sie in zweiter Näherung eines Störungsverfahrens den Stark-Effekt an
einem zwei-dimensionalen Rotator vom elektrischen Dipolmoment p. (Dazu nehmen
Sie an, dass das Rotator nur einen Rotationsfreiheitsgrad (Azimutwinkel ϕ) hat.)
Das Inertialmoment des Rotators ist I, und das elektrische Feld ist eine Konstante
E.
(0)
(a) Zunächst lösen Sie die ungestörte Schrödingergleichung. Bestimmen Sie Em
(0)
und Ψm .
1 Punkt
(b) Berechnen Sie nach den allgemeinen Formeln der Störungstheorie die Energie(1)
(2)
korrekturen Em und Em .
2 Punkte
(0)
(0)
Hinweis: Obwohl die Zustände Ψm und Ψ−m entartet sind, dürfen Sie die Störungs(0)
(0)
theorie ohne Entartung anwenden, weil das Potential die Zustände Ψm und Ψ−m
nicht mischt.
(1)
(c) Berechnen Sie Ψm und die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Orientierung des
Rotators P (ϕ). Welche Orientierung des Rotators hat eine maximale Wahrscheinlichkeit bei m = 0 und bei m 6= 0?
2 Punkte
3. Ausgedehnter Atomkern
Untersuchen Sie den Einfluss der endlichen Kernausdehnung auf das Energiespektrum eines wasserstoffähnlichen Atoms. Dazu nehmen Sie an, dass das Elektron den
Atomkern nicht als Punktladung, sondern als homogen geladene Kugel vom Radius
R mit R << RB verspürt (RB ist der Bohrsche Radius). Das Wechselwirkungspotential des Z-fach geladenen Atomkerns mit dem Elektron ist demnach gegeben
durch:
(
2 /(3R2 )
−3Ze2 1−r 2R
, r ≤ R,
V (r) =
Ze2
− r ,
r > R.
(a) Betrachten Sie die Abweichung vom Coulombpotential des punktförmigen Atomkerns als Störung, und schreiben Sie die in 1. Ordung Störungsrechnung bewirkte
Verschiebung der Energieniveaus. Da sich die Integration nur über den Bereich
R << RB des Atomkerns erstreckt, kann im Integranden ψnlm (~r) näherungsweise
durch ψnlm (~0) ersetzt und die Energieverschiebung explizit ausgerechnet werden.
Welche Zustände werden in dieser Näherung verschoben?
3 Punkte
(b) Berechnen Sie für ein Elektron im Zentralfeld eines Bleikerns die Energieverschiebung der 1s- und 2s-Zustände. Vergleichen Sie diese Energieverschiebung mit
der ungestörten 2p → 1s Übergangsenergie.
2 Punkte
1/3
Zahlenwerte: R ≃ r0 A
mit r0 = 1.2 fm, RB = 0.53/Z Å, Blei: Z = 82, A = 208.