Fortgeschrittene Quantenmechanik

Fortgeschrittene Quantenmechanik
Prof. Dr. R. Harlander
Sommersemester 2009
Klausur
Hendrik Mantler ([email protected])
Marius Wiesemann ([email protected])
23. Juli 2009, 12:00 Uhr
Name:
Matrikelnummer:
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gesamtpunktzahl: 30 Punkte
100% =
b 20 Punkte
1
2
3
4
5
Σ
Hinweise
• Für griechische Indices gilt stets die Summationskonvention, d.h. über doppelt auftretende Indices wird summiert.
• Dirac-Matrizen:
{γ µ ,γ ν } = g µν 14×4
0
γ =
µ
1
0
0
−1
¶
,
i
µ
γ =
0
−σi
σi
0
¶
,
i ∈ {1,2,3}
• Harmonischer Oszillator:
µ
H = ~ω
a† a +
1
2
¶
µ
Zustände:
|ni mit
H|ni = En |ni = ~ω
1 ¡ † ¢n
|ni = √
a
|0i
n!
r
¢
~ ¡ †
x=
a +a ,
2mω
r
p=i
n+
1
2
¶
|ni
¢
m~ω ¡ †
a −a
2
Aufgabe 1: Messprozess (1+2+2=5 Punkte)
Eine Observable A habe in der Orthonormal-Basis |1i, |2i, |3i die Matrix-Darstellung




A11 A12 A13
0 1 0
1
A =  A21 A22 A23  = √  1 0 1  ,
Aij ≡ hi|A|ji
2
A31 A32 A33
0 1 0
Der Zustand des betrachteten Systems sei
|ψi =
3
2
6
|1i + |2i + |3i
7
7
7
(a) Welche Werte kann eine Messung von A liefern?
(b) Berechne den Erwartungswert hψ|A|ψi.
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liefert eine Messung von A am Zustand |ψi den
Wert 0? In welchem Zustand befindet sich das System unmittelbar nach der Messung des Wertes 0?
Aufgabe 2: Relativistische Feldgleichungen (2+2+2+2=8 Punkte)
Λµν sei die Transformationsmatrix für Lorentz-Tensoren T αβ··· , d.h. unter LorentzTransformationen gilt
T 0αβ··· = Λαµ Λβν · · · T µν···
(a) Die beiden Felder η(x) und C(x) transformieren sich unter Lorentz-Transformationen
wie folgt:
η(x) → η 0 (x) = η(Λ−1 x)
C µ (x) → C 0µ (x) = Λµν C ν (Λ−1 x)
Welchen Namen haben die obigen Felder? Welchen Spin hat ein Teilchen, das
durch solch ein Feld beschrieben wird? Welchen relativistischen Gleichungen genügen
diese Felder?
(b) Ein Elektron wird beschrieben durch einen Spinor ψ(x). Wie transformiert es sich
unter Lorentz-Transformationen?(Drücken Sie die Transformation durch DiracMatrizen γ µ aus) Welche relativistische Gleichung erfüllt es?
(c) Wie transformieren sich folgende Objekte unter Lorentz-Transformation?
i. ψ̄(x) = ψ † (x)γ 0
ii. ψ̄ψ
iii. ψ̄γ µ ψ
iv. ψ̄γ µ γ ν ψ
(Keine Herleitung erforderlich!)
(d) Leiten Sie aus der Dirac-Gleichung
(i∂/ − m) ψ(x) = 0
(a/ = γ µ aµ )


ψ1
 ψ2 

mit ψ(x) = 
 ψ3 , die Klein-Gordon-Gleichung
ψ4
¡
¢
¤ + m2 ψi (x) = 0
für eine Komponente ψi (x) von ψ(x) her.
Aufgabe 3: Pauli-Matrizen (1+1+1+2+1=6 Punkte)
(a) Geben Sie eine Darstellung der Pauli-Matrizen an.
(b) Welche Vertauschungsrelationen erfüllen sie?
(c) Welche Eigenwerte besitzen die Pauli-Matrizen?
~ = exp(− i φ
~ · ~σ ) für φ
~ = (φ,0,0)T .
(d) Berechnen Sie U (φ)
2
~ für eine Volldrehung φ = 2π?
(e) Wie lautet U (φ)
Aufgabe 4: Drehimpulsaddition (1+1+1+2+1=6 Punkte)
Betrachten Sie die Addition von Einzelspins zu einem Gesamtspin:
(a) Zu welchen Gesamtspins können sich die drei Spins s1 = 1/2, s2 = 3/2 und
s3 = 5/2 addieren? Wie viele Dimensionen hat die Darstellung des größtmöglichen
Gesamtspins?
(b) In einem gegebenen System beobachtet man folgende Gesamtspins: 5/2, 3/2,
1/2. Wieviele und welche Einzelspins sind hier addiert worden? Gibt es mehrere
Möglichkeiten?
Aufgabe 5: HO in zeitabhängiger Störungsrechnung (5 Punkte)
Gegeben sei ein eindimensionaler harmonischer Oszillator mit Kreisfrequenz ω und
elektrischer Ladung q. Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich der Oszillator im Grundzustand. Ein elektrisches Feld werde für einen Zeitraum τ hinzugeschaltet, so dass die
Störung die Form
(
−qEx, 0 ≤ t ≤ τ
0
H (t) =
0,
sonst
mit E als elektrischer Feldstärke hat. Berechnen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten P01 und P02 für die Übergänge vom Grundzustand in den ersten bzw. zweiten
angeregten Zustand in der ersten Ordnung der zeitabhängigen Störungstheorie.