Übungen zur Vorlesung Quantentheorie 2 WS 2004/05 Prof. Dr. G

Übungen zur Vorlesung Quantentheorie 2
WS 2004/05
Prof. Dr. G. Mahler
Blatt 2
Aufgabe 6. Zeitentwicklungsoperatoren
(schriftlich)
Es sei Ĥ = Ĥ0 + V̂ . Dann ist mit
im Heisenberg- und im Wechselwirkungsbild
V̂H = Ŝ † V̂ Ŝ,
c) Berechnen Sie die Mittelwerte für Energie und Quadrat der Energie und geben
Sie die entstandene Energieunschärfe an.
(2 Punkte)
V̂W = Ŝ0† V̂ Ŝ0 .
a) Zeigen Sie, dass
a) Geben Sie die stationären Zustände |k 0 i in Ortsdarstellung für das System nach
Anlegen des elektrischen Feldes an.
(1 Punkt)
b) Durch die Veränderung enthält die neue Wellenfunktion Beiträge angeregter Zustände k 0 , deren Besetzungswahrscheinlichkeiten w0k0 durch das Quadrat des Überlapps mit dem ursprünglichen Grundzustand gegeben ist (warum?). Berechnen Sie
w0k0 im gegebenen Fall.
(2 Punkte)
Ŝ0 (t) = exp(−iĤ0 t/h̄)
Ŝ(t) = exp(−iĤt/h̄),
Aufgabe 8. Gestörter harmonischer Oszillator (schon wieder)
Ein geladenes Teilchen (Ladung e) im eindimensionalen harmonischen Potenzial V =
1
mω 2 x2 befinde sich im Grundzustand |0i. Zur Zeit t = 0 wird plötzlich ein homo2
genes elektrisches Feld E konstanter Stärke in x-Richtung angelegt.
(1 Punkt)
†
,
V̂W = ŜW V̂H ŜW
mit ŜW = Ŝ0† Ŝ.
b) Zeigen Sie, dass
Aufgabe 9. Dichtematrix und Blochvektor
(1 Punkt)
ih̄
d
ŜW = V̂W ŜW ,
dt
mit ŜW (0) = 1̂.
c) Berechnen Sie ŜW für den harmonischen Oszillator mit
Ĥ0 =
p̂2x
mω 2 2
+
x̂ ,
2m
2
(2 Punkte)
V̂ = −eE x̂.
Aufgabe 7. Zeitabhängige Störungsrechnung
Ein geladenes Teilchen (Ladung e, Masse m) ist in einem harmonischen Potenzial
gebunden (linearer harmonischer Oszillator). Auf das Teilchen wirkt das zeitabhängige homogene elektrische Feld
Eine beliebige hermitesche 2 × 2-Matrix lässt sich als Linearkombination der Paulimatrizen
0 1
0 −i
1 0
,
σy =
,
σz =
σx =
1 0
i 0
0 −1
und der Einheitsmatrix 1 darstellen. Für die allgemeine 2 × 2-Dichtematrix soll nun
folgender Ansatz gewählt werden:
ρ = λ0 1 +
1
λ x σx + λ y σy + λ z σz .
2
Die λi sind dabei im Allgemeinen reelle Zahlen. Das Triplett (λx , λy , λz ) wird als
Blochvektor bezeichnet.
a) Bestimmen Sie λ0 . Durch die Forderung, dass die Eigenwerte der Dichtematrix
nicht negativ sind, lässt sich eine Einschränkung für den Blochvektor angeben. Wie
lautet diese?
(2 Punkte)
b) Für einen reinen Zustand gilt Spur{ρ2 } = 1. Was folgt daraus für den Blochvektor
eines reinen Zustandes?
(1 Punkt)
A
2
E(t) = √ e−(t/τ )
πτ
(A, τ konstant). Zum Zeitpunkt t = −∞ sei der Oszillator im Grundzustand n = 0.
Bestimmen Sie – in erster Näherung – die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen für t =
+∞ im ersten angeregten Zustand n = 1 zu finden. Diskutieren Sie die Abhängigkeit
von τ .
(3 Punkte)
Hinweis: Der Störoperator ist V̂ (t) = −eE(t)x̂. Bestimmen Sie n x̂ n + 1 .
Kontrollfragen
a) Wodurch unterscheidet sich die Liouvillegleichung für den Dichteoperator von
der Bewegungsgleichung für eine Observable  im Heisenbergbild?
b) Auf welchen Annahmen beruht Fermis Goldene Regel?
c) Was bedeutet der Zeitordnungsoperator T̂ ?