Übungsaufgaben Teil 5

Quantenmechanik I, WS 2016/17
Prof. Dr. Michael Bonitz
Übungszettel 5 (Abgabe: Dienstag 29.11. 14:00)
1. Wiederholung (mündlich): Harmonischer Oszillator
(a) Wiederholen Sie Definition und Eigenschaften der Hermiteschen Polynome.
(b) Wiederholen Sie die Ableitung der Leiteroperatoren â, â† ausgehend von den
Eigenschaften der Hermiteschen Polynome.
(c) Diskutieren Sie die Eigenschaften und physikalische Interpretation der Leiteroperatoren â, â† .
(d) Was sind kohärente Zustände (Glauberzustände)? Geben Sie Beispiele für
ihre Realisierung an.
2. Aufgaben (34 Punkte): Harmonischer Oszillator
(a) Man bestimme die Oszillatoreigenfunktionen ψn für n = 3...6. Man verwende
zum einen die Rekurrenzformel und zum anderen die Darstellung der Hermiteschen Polynome durch eine Gauß-Funktion. (Grundlage: Vorlesung, 6
Punkte).
(b) Man bestimme für ein Teilchen im Grundzustand bzw. im ersten angeregten
Zustand die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des klassisch erlaubten
Bereiches. Hinweis: man finde zuerst die klassischen Umkehrpunkte für
E = En und anschließend die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen diesen
Punkten (8 Punkte).
(c) Man berechne die klassische Aufenthalts-Wahrscheinlichkeitsdichte ρcl eines
Teilchens im Oszillator Potential und vergleiche sie mit dem QM-Ergebnis.
In welchem Grenzfall ist die klassische Beschreibung qualitativ richtig? (Hinweis: ρcl lässt sich aus der Lösung der klassischen Bewegungsgeleichung
finden, indem man die Zeitdauer dt(x) berechnet, die das Teilchen im Mittel
am Ort x zubringt. 6 Punkte)
(d) Man berechne für den Oszillator die Kommutatoren: [Ĥ, â† â] und [â† â, ââ† ]
(Grundlage: Vorlesung, 6 Punkte).
(e) Finden Sie die dipolerlaubten Übergänge des Oszillators. Hinweis: es sind
die (Übergangs-)Matrixelemente des Dipoloperators dˆ = ex̂ [vgl. klassisches
Dipolmoment, s. Elektrodynamik], zwischen zwei Eigenzuständen mit den
Quantenzahlen n und m zu berechnen, die definiert sind als
dmn =
Z ∞
−∞
∗
(x) dˆψn (x).
ψm
(1)
Als dipolerlaubt bezeichnet man Übergänge, für die dmn 6= 0 ist. Welche
Werte nimmt dmn an? (Hinweis: man berechne zunächst die Matrixelemente
der Operatoren â und â† , 8 Punkte).
3. Zusatzaufgabe: 1D Harmonischer Oszillator im elektrischen Feld.
Der Oszillator befinde sich im Grundzustand. Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein
räumlich homogenes konstantes elektrisches Feld der Feldstärke E eingeschaltet.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit P00 dafür, dass der Oszillator sich bei t > 0
im Grundzustand befindet. Man finde die Abhängigkeit P00 (E).