Klausur zur Einführung in die Quantenmechanik und Statistik Viel

Prof. Dr. E. Epelbaum
Sommersemester 2015
Klausur zur Einführung in die Quantenmechanik und Statistik
Donnerstag, 23.07.2015, 14:00–17:00, H-NB, Ruhr-Universität Bochum
(Bitte in Blockschrift angeben)
Name:
Gruppe:
Matrikelnummer:
Aufgabe
Punkte
Max. Punkte
1
2
3
4
5
6
∑
15
15
10
15
10
15
80
• Die Klausur beinhaltet 6 Aufgaben. Die Bearbeitungszeit beträgt 3 Stunden.
• Die maximal erreichbare Gesamtpunktzahl beträgt 80 Punkte. Das Erreichen von 70 Punkten
wird als 100% gewertet. Zum Bestehen der Klausur benötigt man mindestens 35 Punkte.
• Die Bonuspunkte, die bei den Hausaufgaben gesammelt wurden, werden zu den Klausurpunkten addiert und können maximal 10% betragen.
Viel Erfolg!
Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 = 15 Punkte)
(a) Wie sehen Impulseigenzustände |~pi im Ortsraum aus?
n 2o
x
(b) Kann die Funktion Ψ(x) = N(x4 +2ax3 +a2 x2 ) exp − 2a
eine Energieeigenfunktion des har2
monischen Oszillators sein? Begründen Sie Ihre Antwort.
(c) Kann die Matrix
1/3 1/6
1/6 3/8
ρ=
!
einer Dichtematrix entsprechen? Begründen Sie Ihre Antwort.
(d) Kann man die z-Komponente des Bahndrehimpulses Lz und die des Impulses pz gleichzeitig
beliebig genau messen? Begründen Sie Ihre Antwort.
(e) Sei  ein Operator, für den die Kommutatorrelationen [Â, Jˆx ] = [Â, Jˆy ] = 0 gelten, wobei Jˆx
und Jˆy die entsprechenden Komponenten des Drehimpulsoperators Ĵ sind. Berechnen Sie den
Kommutator [Â, Jˆz ].
2
2
U
(f) Kann S(U,V, N) = θ VN exp(− NR
) eine korrekte fundamentale thermodynamische Relation sein?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(g) Ein thermodynamisches System sei durch die Variablen T,V, N charakterisiert. Wie lautet
das entsprechende thermodynamische Potential? Geben Sie die explizite Form ausgehend von
U(S,V, N) an.
Aufgabe 2 (3 + 3 + 4 + 2 + 3 = 15 Punkte)
(a) Leiten Sie mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung das Ehrenfest-Theorem für die zeitliche Änderung einer Observable A her
d
∂A
i
hAi = h i + h[H, A]i.
dt
∂t
h̄
(b) Betrachten Sie einen eindimensionalen harmonischen Oszillator
Ĥ =
p̂2 1
+ mω 2 x̂2
2m 2
und zeigen Sie, dass gilt:
1
d
hxi = hpi,
dt
m
d
hpi = −mω 2 hxi
dt
(c) Ein linearer harmonischer Oszillator (Kreisfrequenz ω ) befinde sich zur Zeit t = 0 in einem
normierten (nichtstationären) Zustand Ψ(x,t = 0). Die Erwartungswerte von Ort und Impuls
bei t = 0 seien hxi0 bzw. hpi0 . Man gebe für t > 0 die Erwartungswerte hxit und hpit an.
(d) Man denke sich den Zustand Ψ(x,t = 0) nach den Eigenzuständen Ψn (x) des Hamiltonoperators
entwickelt (Eigenwerte En ). Wie lautet der Zustand Ψ(x,t) für t > 0?
(e) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, für t ≥ 0 bei einer Messung der Energie bestimmte
Werte En zu finden? In welchem Zustand befindet sich der Oszillator nach einer solchen Messung?
(a) Abb.1
(b) Abb.2
Aufgabe 3 (5 + 5 = 10 Punkte)
(a) Betrachten Sie den eindimensionalen Potentialtopf (Breite 2a, Tiefe V0 ) in Abb. 1. Es sei bekannt, dass für diesen Topf genau zwei gebundene Zustände existieren, mit den (positiv definierten)
Bindungsenergien e1 und e2 . Wie lauten die dazugehörigen Eigenzustände Ψ1 (x) und Ψ2 (x)?
Die Normierungskonstante ist irrelevant.
(b) Betrachten Sie jetzt den Potentialtopf in Abb. 2, der sich nur von x = 0 bis x = a erstreckt, und
bei dem das Potential für x < 0 unendlich ist. Die Werte von V0 und a seien die gleichen wie in
Abb. 1. Welche gebundenen Zustände gibt es und wie sehen die zugehörigen Wellenfunktionen
aus? Versuchen Sie, die Ergebnisse aus Teil (a) zu verwenden.
Aufgabe 4 (5 + 4 + 6 = 15 Punkte)
Der Hamiltonoperator eines dreidimensionalen, isotropen harmonischen Oszillators mit Masse m
und charakteristischer Frequenz ω lautet
mω 2 2
h̄2 ∂ 2
∂2
∂2
Ĥ = −
+
+
+
(x + y2 + z2 ).
2m ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
2
(a) Zeigen Sie durch Zerlegung von Ĥ als Summe von drei eindimensionalen harmonischen Oszillatoren, dass die Energieeigenwerte gegeben sind durch
3
En = h̄ω n +
,
n = 0, 1, 2, 3, . . .
2
Tipp: Ψ(~r) = Φ1 (x) ∗ Φ2 (y) ∗ Φ3 (z)
(b) Bestimmen Sie den Entartungsgrad der drei niedrigsten Energieeigenzustände.
(c) Verwenden Sie die Leiteroperatoren für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator, um
die (auf eins normierte) Wellenfunktion Ψ0 (~r) des Grundzustandes herzuleiten.
Nützliche Formeln: Die Leiteroperatoren â und ↠sind definiert als
r
r
mω
i p̂x
mω
i p̂x
†
x̂ +
x̂ −
â =
, â =
.
2h̄
mω
2h̄
mω
Aufgabe 5 (6 + 4 = 10 Punkte)
(a) Welche der folgenden Operatoren bzw. Matrizen kann einem Dichteoperator bzw. einer Darstellung eines Dichteoperators entsprechen


!
1/2 0 1/4
1/4 3/4


ρ1 =
, ρ2 =  0 1/2 0  ,
3/4 3/4
1/4 0
0
√
√
1
2
2
2
ρ3 = |uihu| + |vihv| +
|uihv| +
|vihu|,
3
3
3
3
hu|vi = 0, hu|ui = hv|vi = 1
Tipp: Beachten Sie auch die Spur von ρ 2 .
(b) Geben Sie für die Fälle, in denen es sich um einen reinen Zustand handelt, die explizite Form
des Zustandes an.
Aufgabe 6 (5 + 5 + 5 = 15 Punkte)
Betrachten Sie ein System von N identischen aber unterscheidbaren Teilchen. Jedes dieser Teilchen
hat genau zwei Energieniveaus mit den Energien ε0 = 0 und ε+ > 0. Das obere Energieniveau ist gfach entartet und das untere Energieniveau ist nicht entartet. Die Gesamtenergie des Systems ist E.
(a) Zeigen Sie, ausgehend vom mikrokanonischen Ensemble, dass für großes N gilt:
S(E, N) ≈ −NkB [x ln x + (1 − x) ln(1 − x) − x ln g],
x=
E
Nε
(b) Geben Sie die Besetzungszahlen n0 und n+ als Funktion der Temperatur an.
(c) Bilden Sie die Grenzwerte T → 0 und T → ∞ für die Besetzungszahlen n0 und n+ . Sind diese
konsistent mit dem 3. Hauptsatz der Thermodynamik?