Aufgabenblatt - TU Darmstadt

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Theoretische Physik II:
Quantenmechanik
Hans-Werner Hammer
Marcel Schmidt ([email protected])
Wintersemester 2016/17
7. Übung
8./9. Dezember 2016
Aufgabe 1 Auf- und Absteigeoperatoren des harmonischen Oszillators
Die Eigenzustände |n〉 , n ∈ N0 des eindimensionalen harmonischen Oszillators sind durch die Auf- und
Absteigeoperatoren
Ç
Ç
Mω
i
Mω
i
†
â ≡
x̂ −
p̂
und â ≡
x̂ +
p̂
2ħ
h
Mω
2ħ
h
Mω
verbunden. Dabei gilt
↠|n〉 =
p
n + 1 |n + 1〉
und
â |n〉 =
p
n |n − 1〉 .
Insbesondere „vernichtet“ der Absteigeoperator â den Grundzustand |0〉 , d. h. â |0〉 = 0 . In der ersten
Aufgabe soll zunächst der rechnerische Umgang mit â und ↠geübt werden.
a) Drücken Sie die Operatoren x̂ und p̂ durch ↠und â aus. Benutzen Sie die Resultate, um weitere
Ausdrücke für x̂ 2 , p̂2 und x̂ p̂ + p̂ x̂ zu erhalten.
¬ ¶
b) Berechnen Sie die Matrixelemente n Ô m für Ô = x̂, p̂, x̂ 2 , p̂2 , x̂ p̂ + p̂ x̂ .
c) Zeigen Sie, dass x̂ und p̂ hermitesch sind, indem Sie die Relation
¬ ¶ ¬ ¶∗
ϕ1 Ô ϕ2 = ϕ2 Ô ϕ1
für Ô = x̂, p̂ und beliebige Zustände ϕ1 , ϕ2 beweisen.
HINWEIS: Rechnen Sie in der Eigenbasis des harmonischen Oszillators und verwenden Sie die
Resultate aus Teilaufgabe b).
Aufgabe 2 Eigenzustände des harmonischen Oszillators im Ortsraum
Wir verwenden nun ↠und â , um die Ortsraum-Darstellungen ψn (x) ≡ 〈x | n〉 der Eigenzustände |n〉
des eindimensionalen harmonischen Oszillators zu bestimmen.
¬ ¶
a) Benutzen Sie die Definitionen der Auf- und Absteigeoperatoren, um x ↠n und 〈x | â | n〉 durch
ψn (x) auszudrücken.
b) Benutzen Sie das Resultat für 〈x | â | n〉, um die Grundzustands-Wellenfunktion ψ0 (x) zu bestimmen. Vergessen Sie nicht, den Zustand zu normieren.
HINWEIS: Es gilt
Z
∞
dx e
−∞
−αx 2 +β x+γ
=
Ç
π
α
β2
e 4α +γ ,
mit α, β, γ ∈ C, Re α > 0.
1
c) Beweisen Sie schließlich durch vollständige Induktion, dass die Eigenzustände des harmonischen
Oszillators im Ortsraum die Form
‚Ç
Œ
r
M ω 1/4
1
Mω
Mω 2
ψn (x) =
Hn
x e− 2ħh x , n ∈ N0
n
ħ
hπ
2 n!
ħ
h
besitzen.
¬ ¶
HINWEIS: Benutzen Sie im Induktionsschritt den in a) ermittelten Ausdruck für x ↠n sowie
die Rekursionsbeziehungen
∂
∂z
H n (z) = 2n H n−1 (z) und
H n+1 (z) = 2z H n (z) − 2n H n−1 (z)
der hermiteschen Polynome H n (z). Dabei gilt insbesondere H0 (z) = 1 .
2
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