Übungsblatt 5 Quantenmechanik (WS 2016/17)

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Übungsblatt 5
Quantenmechanik (WS 2016/17)
Abgabe: Dienstag, den 22. November 2016 vor Beginn der Vorlesung
Auf diesem Übungsblatt wollen wir die algebraische Lösung des harmonischen Oszillators benutzen, um
weitere Eigenschaften des quantenmechanischen harmonischen Oszillators kennenzulernen. Weiterhin werden wir einige Standardformeln für Hermite-Polynome mithilfe der algebraischen Lösung ableiten.
(5+10+10 Punkte)
In dieser Aufgabe wollen wir die Lösung des quantenmechanischen harmonischen Oszillators näher untersuchen. Wir schreiben den Hamilton-Operator in dimensionsloser Form, indem wir Längen in Vielfachen
der Oszillatorlänge `osc = (~/mω)1/2 messen. Dies führt auf
Aufgabe 1: Harmonischer Oszillator: Normierung und Erwartungswerte
H = ~ω
1 2 1 2
π + η ,
2
2
(1)
wobei η und π mit dem physikalischen Ort x und Impuls p zusammenhängen über x = `osc η und
p = (~/`osc )π . Spektrum und Eigenfunktionen von H konnten wir mithilfe der Aufsteige- und Absteigeoperatoren
1
1
d
a = √ (η − iπ) = √
η−
dη
2
2
1
1
d
a = √ (η + iπ) = √
η+
dη
2
2
†
bestimmen. Der Grundzustand
ψ0 (η) = C0 exp(−η 2 /2)
(2)
(3)
(4)
ist ein Eigenzustand des Absteigeoperators a mit Eigenwert 0,
(5)
aψ0 (η) = 0.
Die Wellenfunktionen der angeregten Zustände folgen mithilfe des Aufsteigeoperators a† ,
1
1
ψn (η) = √ (a† )n ψ0 (η) = √
n!
2n n!
d n
η−
ψ0 (η).
dη
(6)
Die Wellenfunktionen erfüllen die Orthonormierungsrelation
Z
∞
−∞
dη ψn∗ (η)ψn0 (η) = δn,n0 .
(7)
Die Normierung rechnen wir in dieser Aufgabe nach. Die Orthogonalität ist eine allgemeine Eigenschaft
der Eigenfunktionen hermitescher Operatoren.
(a) Um ezient weitere Eigenschaften der Eigenfunktionen zu berechnen, wollen wir zunächst den Kommutator der Aufsteige- und Absteigeoperatoren berechnen. Ebenso wie bei Matrizen hängt das Produkt
zweier Operatoren im allgemeinen von der Reihenfolge der Faktoren ab. Zwei Operatoren A und B können
also einen nichtverschwindenden Kommutator
[A, B] = AB − BA
1
(8)
haben. Berechnen Sie den Kommutator der Auf- und Absteigeoperatoren,
Hieraus folgt, dass
[a, a† ] = 1.
(9)
aa† = a† a + 1.
(10)
(b) Zeigen Sie, dass
Z
∞
(11)
dη|a† ψn (η)|2 = n + 1
−∞
Z ∞
dη|aψn (η)|2 = n.
(12)
−∞
Nehmen Sie hierfür an, das ψn (η) normiert ist. (Hinweis: Die Wellenfunktionen können reell gewählt
werden. Schreiben Sie den Integranden mithilfe der expliziten Denition der Leiteroperatoren, integrieren
Sie partiell, so dass beide Operatoren nur auf die zweite Wellenfunktion wirken, und schreiben Sie das
Resultat wieder mithilfe der Leiteroperatoren.)
Berechnen Sie nun zunächst den Normierungsfaktor für ψ0 (η). Nutzen Sie dann die Ergebnisse dieser
Teilaufgabe, um die Normierungsfaktoren von allen ψn (η) anzugeben.
(c) Schlieÿlich wollen wir die Leiteroperatoren und die normierten Wellenfunktionen benutzen, um Erwartungswerte auszurechnen. Drücken Sie zunächst den Ort η durch die Leiteroperatoren aus und berechnen Sie mithilfe dieser Ausdrücke die Erwartungswerte
Z
hn|η|ni =
Z
2
hn|η |ni =
∞
dη ψn∗ (η)ηψn (η)
(13)
dη ψn∗ (η)η 2 ψn (η).
(14)
−∞
∞
−∞
Interpretieren Sie Ihr Resultat. Sie sollten insbesondere die n-Abhängigkeit verstehen. Berechnen Sie
weiterhin die Matrixelemente
Z ∞
∗
dη ψn+1
(η)ηψn (η)
hn + 1|η|ni =
−∞
Z ∞
∗
hn − 1|η|ni =
dη ψn−1
(η)ηψn (η).
(15)
(16)
−∞
Aufgabe 2: Dynamik des harmonischen Oszillators
(10+10+5 Punkte)
Ein Teilchen in einem harmonischen Potential hat die Anfangswellenfunktion
Ψ(x, t = 0) = A[ψ0 (x) + ψ1 (x)].
(17)
Hierbei sind ψn (x) normierte Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators.
(a) Normieren Sie die Wellenfunktion Ψ(x, t = 0), d.h. bestimmen Sie den Vorfaktor A.
(b) Finden Sie Ψ(x, t) und |Ψ(x, t)|2 für alle Zeiten t.
(c) Finden die den Erwartungswert
Z
hxi =
dxΨ∗ (x, t)xΨ(x, t)
(18)
als Funktion der Zeit. Wie groÿ ist die Amplitude der Oszillationen, was ist die Frequenz der Oszillationen?
2
(d) Berechnen Sie nun auch den Erwartungswert
Z
hpi =
dxΨ∗ (x, t)
~ d
Ψ(x, t).
i dx
(19)
des Impulses. Vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem entsprechenden Resultat für x im Licht der klassischen
Mechanik.
(10+10+5 Punkte)
In dieser Aufgabe wollen wir ausgehend von der algebraischen Lösung des harmonischen Oszillators verschiedene Eigenschaften der Hermite-Polynome kennenlernen und beweisen. Die normierten Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators in dimensionsloser Form sind durch
Aufgabe 3: Hermite-Polynome
ψn (η) =
1
2
√ (a† )n e−η /2
n!
(20)
π 1/4
gegeben. Wir denieren nun die Hermite-Polynome über die Formel
Hn (η) =
π 1/4
1
√
2 /2
.
(21)
d n −x2 /2
x−
e
.
dx
(22)
2n n!
Hn (η)e−η
Aus diesen beiden Formeln erhalten wir
Hn (x) = e
x2 /2
(a) Zunächst wollen wir die sogenannte Rodriguez-Formel
x2
Hn (x) = e
d
−
dx
n
e−x
2
(23)
beweisen. Beweisen Sie hierzu zunächst die Operatoridentität
d
x−
dx
x2 /2
e
=e
x2 /2
d
−
dx
.
(24)
Sie müssen also zeigen, dass diese Identität gilt, wenn Sie beide Seiten auf eine beliebige Funktion anwenden. Wenden Sie dann diese Identität n-mal in Glg. (22) an, nachdem Sie den rechten Gauÿ-Faktor
als
2
2
2
e−x /2 = ex /2 e−x
(25)
schreiben.
(b) Nun wollen wir die Rekursionsformel
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x)
(26)
für die Hermite-Polynome ableiten. Gehen Sie hierzu von der Rodriguez-Formel für Hn+1 (x) aus und
führen Sie eine Ableitung des rechten Gauÿ-Faktors explizit aus. Beweisen Sie dann die Operatoridentität
d
d
−
x = −1 + x −
dx
dx
(27)
dHn (x)
= 2nHn−1 (x).
dx
(28)
und wenden Sie diese n-mal an.
(c) Zeigen Sie, dass
3
Dies kann direkt gezeigt werden, indem Sie die Ableitung auf die Rodriguez-Formel anwenden und das
Resultat mithilfe der Rekursionsformel vereinfachen.
(d) [Diese Aufgabe gibt 10 Zusatzpunkte.] Zeigen Sie, dass
e−z
2 +2zx
=
∞
X
zn
n=0
n!
Hn (x).
(29)
Die linke Seite dieser Gleichung wird daher als Erzeugendenfunktion der Hermite-Polynome bezeichnet.
Um diese Identität zu beweisen, schreiben Sie die Hermite-Polynome wieder mithilfe der Rodriguez-Formel
und identizieren den Ausdruck als eine Anwendung der Taylor-Reihe.
4
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