Theoretische Physik III Quantenmechanik 1 / Thermodynamik und
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Universität Leipzig Institut für Theoretische Physik Prof. Dr. K. Kroy WS 2010/11 Theoretische Physik III Quantenmechanik 1 / Thermodynamik und Statistik 1 3. Übungsblatt Aufgabe 6: Eindimensionaler, unendlich tiefer Potentialtopf (9 Punkte) In der Vorlesung wurde ein Teilchen betrachtet, das in einem unendlich tiefen Rechteckpotential der Breite L gefangen ist. Seine Eigenfunktionen ϕn (x) zu den Energie-Eigenwerten En wurden bestimmt als r nπ 2 ~2 n2 π 2 sin x bzw. En = (n = 1, 2, 3, . . . ). ϕn (x) = L L 2mL2 Z L dx|ϕn (x)|2 = 1. a) Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen ϕn (x) normiert sind, d. h. dass 0 b) Berechnen Sie für allgemeines n den Erwartungswert des Ortes Z L dx ϕn (x)∗ x ϕn (x) hxin = 0 zum Zustand ϕn (x) und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung |ϕn (x)|2 für den Grundzustand (n = 1) und den ersten angeregten Zustand (n = 2). Fällt der Erwartungswert hxin jeweils mit dem wahrscheinlichsten Ort (Maximum von |ϕn (x)|2 ) zusammen? q c) Berechnen Sie die Ortsunschärfe ∆xn = hx2 in − hxi2n . Wie verändert sie sich mit n? ∂ d) Die Orstdarstellung des Impulsoperators p lautet ~i ∂x . Zeigen Sie, dass sein Erwartungswert Z L ~ ∂ hpin = dx ϕn (x)∗ ϕn (x) i ∂x 0 für alle n verschwindet. Kann man das bereits aus der Form der ϕn (x) ablesen? Hinweis: Die zweite Frage lässt sich mit Hilfe des Superpositionsprinzips beantworten. e) Berechnen Sie die Impulsunschärfe ∆pn = von n ab? p hp2 in . Wie hängt das Produkt ∆xn · ∆pn Hinweis: Verwenden Sie E = p2 /2m, dann ist die Integration unnötig. q f) Berechnen Sie zuletzt noch ∆En = hE 2 in − hEi2n . Ist E eine gute Quantenzahl? Abgabe: bis 8.11., 16 Uhr, Briefkasten Linnéstraße 5
