Mathematik B für die Molekulare Biotechnologie

Dr. Moritz Diehl
Dr. Torsten Fischer
Ileana Borja Tecuatl, Gerrit Schultz
Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (IWR)
Zentrum für Molekulare Biologie (ZMBH)
Mathematik B
für die Molekulare Biotechnologie, SS 2003
Übungsblatt 5
Aufgabe 1. (gemeinsame Verteilung)
1. Seien X1 und X2 zwei voneinander unabhängige, identisch verteilte reelle Zufallsvariablen auf einem nicht genauer bekannten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ). Die
Verteilung von Xi (i = {1, 2}) sei durch
1
P (Xi = 0) = ,
3
P (Xi = 1) =
2
3
gegeben. Berechen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung
der Xi . Stellen Sie die Verteilung von X1 in einem Stabdiagramm dar. Zeichnen Sie
außerdem den Erwartungswert und die Standardabweichung auf geeignete Weise in
dieses Diagramm.
2. Geben sie die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X1 × X2 (mit Werten in
R2 ), d.h. listen sie die möglichen Werte von X1 × X2 auf und berechnen sie deren
Wahrscheinlichkeiten. (Tipp: Wegen der Unabhängigkeit können Sie die Produktformel anwenden.)
3. Stellen sie die gemeinsame Verteilung in einer Tabelle mit zwei Zeilen und zwei Spalten dar. In der ersten Zeile sollen die Wahrscheinlichkeiten P (X1 × X2 = (0, 0)) und
P (X1 × X2 = (0, 1)) (in dieser Reihenfolge) stehen, in der zweiten Zeile die Wahrscheinlichkeiten P (X1 × X2 = (1, 0)) und P (X1 × X2 = (1, 1)). Welche Bedeutung
haben die Spalten- und Zeilensummen (Summe aller Zahlen in einer Spalte bzw. Zeile)?
Geben sie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten von X1 und X2 an.
4. Seien Y1 und Y2 zwei reelle Zufallsvariablen auf einem ebenfalls nicht näher bekannten
e Pe). Die gemeinsame Verteilung von Y1 ×Y2 (mit Werten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,
2
in R ) sei durch
2
,
Pe(Y1 × Y2 = (0, 0)) =
9
1
Pe(Y1 × Y2 = (0, 1)) = Pe(Y1 × Y2 = (1, 0)) =
,
9
5
Pe(Y1 × Y2 = (1, 1)) =
9
gegeben. Weisen sie nach, dass es sich dabei tatsächlich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Stellen Sie auch diese gemeinsame Verteilung in einer Tabelle dar.
Berechnen Sie alle Zeilen- und Spaltensummen.
5. Geben Sie die Verteilungen
von Y1 und Y2 an.
P
(Tipp: P (Y1 = 0) = y2 ∈{0,1} P (Y1 × Y2 = (0, y2 )), . . . Wie kann man das aus der
Tabelle ablesen?)
6. Berechnen Sie die Erwartungswerte, Varianzen, und Standardabweichungen von Y1
und von Y2 sowie die Kovarianz und den Korrelationskoeffizienten von Y1 und Y2 .
Sind Y1 und Y2 voneinander unabhängig?
7. (2 Zusatzpunkte)
(a) Ein Mitarbeiter der Spieleindustrie soll für ein Spiel einen Würfel“ (oder ein
”
Glücksrad oder was auch immer) entwerfen, der als Wurfergebnis Zahlenpaare
(y1 , y2 ) anzeigt, und zwar jeweils mit der durch die Verteilung von Y1 × Y2 (aus
Teilaufgabe 4) gegebenen Wahrscheinlichkeiten. Helfen Sie ihm (theoretisch).
(b) Für eine Computerversion des Spiels sollen die Zahlenpaare (y1 , y2 ) mit Hilfe eines (Pseudo-)Zufallszahlengenerators gewürfelt“ werden. Idealisiert betrachtet,
”
liefert der Zufallsgenerator reelle Zahlen im Intervall [0, 1] mit Gleichverteilung.
Wie kann man daraus eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung gewinnen, die
identisch mit der von Y1 × Y2 ist?
(8 Punkte + 2 Zusatzpunkte)
Aufgabe 2. (Wahrscheinlichkeitsdichten)
1. Bestimmen Sie für i ∈ {1, 2, 3, 4} Konstanten ci ∈ R so, dass die Funktionen
fi : [−1, 1] → R mit
f1 (x)
f2 (x)
f3 (x)
f4 (x)
=
=
=
=
c1 ,
c2 (x + 1),
c3 x2 ,
c4 (1 − x2 )
Wahrscheinlichkeitsdichten sind. Berechnen Sie für jede der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen den Erwartungewert µi , die Varianz σi2 und die Streuung
σi . Zeichnen Sie diese Dichten und markieren Sie jeweils auf der x-Achse den Erwartungswert µi und das Intervall [µi − σ, µi + σi ].
2. Bestimmen Sie die reelle Konstante c so, dass durch
f (x) =
c
x3
eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf [1, ∞[ gegeben ist. Berechnen Sie den Erwartungswert und den Median (m ∈ [1, ∞[ mit P ([1, m[) = 12 ) der entsprechenden Verteilung.
Hat die Verteilung eine endliche Varianz? Skizzieren Sie Dichte, Erwartungswert und
Median in einem Bild.
(8 Punkte)