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UniBwM, Fakultät EIT
Neubiberg, 25.2.08
Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie
Blatt 7
Aufgabe 1
Seien (S, A, P) ein W-Raum, X eine nichtnegative reelle ZV auf (S, A, P) mit der
∞
Verteilungsfunktion F. Verifizieren Sie die Formel E ( X ) =
∫ (1 − F ( x)) dx .
0
Hinweis: Betrachten Sie den Produktraum (S×ú+, AqB+, Pq8+), wobei B+ die F-Algebra der
Borelschen Teilmengen von ú+, 8+ die Restriktion des Lebesguemaßes auf den Meßraum
(ú+, B+) bezeichnen. Der "Hypograph" H := {(T,x) 0 S×ú+ | x < X(T)} von X ist eine meßbare
Teilmenge dieses Produktraums. Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Fubini (vgl. 4.2.7) das
Pq8+-Maß von H auf zweierlei Art, indem Sie die Integrationsreihenfolge variieren.
Aufgabe 2
Ein Roulettspieler (mit ausreichendem Anfangskapital) setzt in einer Serie von n Spielen
(n0ù fest) jeweils 10 € auf "Null".
a) Sei X die Anzahl der Erfolge des Spielers in dieser Serie. Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X.
b) Wie lang muß die Spielserie mindestens sein, damit der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit
von wenigstens 80 % mindestens einen Erfolg erzielt?
c) Sei die Anzahl n der Spiele gemäß b) gewählt. Bei jedem Erfolg wird das 36fache des
Einsatzes ausbezahlt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Nettogewinn des Spielers am
Ende der Serie positiv? Wie groß ist der Erwartungswert dieses Nettogewinns?
Hinweis: a) Es gibt 37 Felder. Jedes Spiel kann also als Bernoullivariable mit p = ? aufgefaßt
werden. Die Verteilung von X ergibt sich gemäß Beispiel zu 3.4.
b) P(X $ 1) $ 0.8 ] P(X = 0) ...
c) Stellen Sie die Zufallsvariable "Nettogewinn" als Funktion von X dar.
Aufgabe 3
Sei p0<0,1> und sei (Xn: n0ù) eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten
Bernoullivariablen mit dem Parameter p.
Seien T1 := inf{n0ù | Xn = 1}, T2 := inf{n0ù | n > T1, Xn = 1}. T1 (bzw. T2) kann als die Anzahl
der Versuche bis zum ersten (bzw. zweiten) "Erfolg" interpretiert werden. Dabei wird inf i = 4
gesetzt. Bestimmen Sie
a) die gemeinsame W-Funktion f von T1 und T2;
b) die Marginal-W-Funktionen f1 und f2. von T1 und von T2;
c) die Erwartungswerte und die Varianzen von T1 und von T2.
Hinweis: a) Ergebnis: f(n,m) = p2 A(1-p)m-2 für n, m 0 ù mit n < m. b) 2.9. c) 4.5 und 4.7.3.
∞
k!
Benutzen Sie die Formel ∑ n(n − 1)⋅...⋅(n − k + 1) x n − k =
für k0ù0, |x| < 1.
(1 − x ) k + 1
n= k
2
Berechnen Sie E[Ti(Ti+1)], woraus Sie durch Subtraktion von E(T i) das quadratische Moment
E(Ti2) erhalten (i=1,2).
Aufgabe 4
⎧⎪ c , für x ≥ 1
Gegeben sei die Wahrscheinlichkeitsdichte f ( x ) = ⎨ x 4
mit einer geeigneten
⎪⎩ 0, für x < 1
Konstanten c0ú.
a) Bestimmen Sie c; berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F; skizzieren Sie f und F.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X, wenn X eine stetige reelle
Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f ist.
Hinweis: a) 1.11.3; b) 4.6 und 4.7.3.
Aufgabe 5
Seien ">0, $0ú und sei f α ,β ( x ): =
α
1
; x0ú.
2
π α + (x − β)2
a) Zeigen Sie, daß f",$ eine W-Dichte ist. Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.
b) Sei X eine stetige reelle ZV mit der Dichte f",$. Existiert der Erwartungswert von X?
c) Sei X wie in b), wobei "=1, $=0, und sei Y:= ln|X| (falls X…0, bzw. Y:= 0 sonst). Berechnen
Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte von Y.
Hinweis: a) Beim Integrieren ist die Substitution x = "At + $ nützlich; b) E(X+) = ?, E(X-) = ?;
c) für jedes y0ú gilt: Y#y ] ln|X| #y ] |X| #... Drücken Sie auf diese Art die
Verteilungsfunktion von Y durch die von X aus; die Dichte erhalten Sie dann durch
Differentiation.
Aufgabe 6
Die stetige reelle ZV X sei gleichverteilt auf dem Intervall [0,1]. Man berechne
f(a):= E(max(a,X)), wobei a0ú beliebig.
Hinweis: 4.6.2; unterscheiden Sie die Fälle a # 0; 0 < a < 1; a $ 1.
Aufgabe 7
Seien X, Y unkorrelierte, quadratisch integrierbare reelle Zufallsvariablen.
a) Zeigen Sie: var(X+Y) = var(X) + var(Y).
b) Sei 0 < var(X) = var(Y). Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten D(X, X+Y).
Hinweis: 4.10; var(X+Y) = cov(X+Y,X+Y) = ...
Aufgabe 8
Seien X und Y identisch verteilte, quadratisch integrierbare reelle Zufallsvariablen.
a) Zeigen Sie, daß die Zufallsvariablen > = X+Y und 0 = X-Y unkorreliert sind.
b) Geben Sie ein Beispiel zweier unkorrelierter, jedoch nicht unabhängiger Zufallsvariablen an.
Hinweis: a) 4.10.2; b) Betrachten Sie > und 0 gemäß a), wobei X, Y unabhängig und identisch
Bernoulli-verteilt mit Parameter p = 0.5.