Blatt11 - Universität Ulm

Universität Ulm
Abteilung Stochastik
Stochastik f. Informatiker
Übungsblatt 11
13.01.1998
A. Frey
J. Wiedmann
Abgabe: 20.01.98
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Aufgabe 1:
Zwei Spieler, A und B, ziehen nacheinander aus einer Lostrommel mit 8 Kugeln (6 blaue, 2 rote)
abwechselnd eine Kugel ohne Zurücklegen. Spieler A beginnt. Wer zuerst eine rote Kugel zieht
hat gewonnen.
i)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter geeigneten Verteilungsannahmen (Laplace) die
Wahrscheinlichkeit p A dafür, daß Spieler A gewinnt ?
ii)
Wieviel Ziehungen sind im Mittel pro Spiel zu erwarten ?
(4)
Aufgabe 2:
  c
Die Zufallsvariable X habe die Dichte f(x) =  1 1[c , ) ( x ) mit  >0, c > 0 (Pareto Verteilung).
x
i)
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F von X
ii)
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen Y:= log X
iii)
Die Verteilung der Zufallsvariablen Z sei gegeben durch P( Z  i )  c  i 2 , i  ; mit
6 . Man zeige, daß Z einen Erwartungswert, aber keine Varianz besitzt.
1
c


i
2
2
i 1
(6)
Aufgabe 3:
Es soll die Höhe H des Ulmer Münsters gemessen werden. Bekannt sind die (exakt gemessene)
Entfernung c des Meßgerätes vom Ulmer Münster und der mit zufälligen Fehlern behaftete
Winkel X (gemessen im Bogenmaß) zwischen Meßgerät und Münsterspitze. X sei gleichverteilt
(d.h. X U(a,b) mit 0 < a < b < /2 )
i) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen H = ctan (X) und zeigen Sie, daß
c
1
 2
1
(t ) besitzt.
H die Dichte f (t ) 
b  a c  t 2 ( ctan a ,ctan b )
ii) Berechnen Sie den Erwartungswert von H
(6)
Aufgabe 4:
Zur Beschreibung der Funktionsweise eines Geigerzählers bei Strahlungsmessungen sei die
folgende Modellannahme gerechtfertigt: Treffen in einer Zeiteinheit auf den Zähler k Teilchen,
so wird die Anzahl der vom Zähler registrierten Teilchen durch ein B(k,p) – verteilte
Zufallsvariable beschrieben, wobei p eine Geräte-Konstante ist. Unter der Annahme, daß die
Anzahl der pro Zeiteinheit auftreffenden Teilchen eine mit dem Parameter  Poisson-verteilte
Zufallsvariable ist, berechne man
i)
die Verteilung
ii)
den Erwartungswert
iii)
die Varianz
(6)
der Anzahl der pro Zeiteinheit registrierten Teilchen.