Vorlesung 3a Der Erwartungswert

Vorlesung 3a
Der Erwartungswert
von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen
1
X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich S
eine endliche oder abzählbare Teilmenge von R ist
2
Eine einprägsame Kenngröße
für die Lage der Verteilung von X
ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel
der möglichen Werte von X:
3
0
10
20
k
30
40
0.00
0.04
0.08
Gewichte
0.12
µ := E[X] :=
X
a P{X = a} .
a∈S
Man spricht vom Erwartungswert von X.
Voraussetzung: die Summe ist wohldefiniert.
Hinreichend dafür:
X
|a| P{X = a} < ∞.
a∈S
Ebenfalls hinreichend ist: alle a ∈ S sind ≥ 0.
(Damit ist auch der Wert ∞ für E[X] nicht ausgeschlossen.)
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X
µ = E[X] =
a P{X = a}
a∈S
=
X
a ν(a)
a∈S
Man beachte:
Der Erwartungswert der Zufallvariablen X
hängt nur von deren Verteilung ν ab
6
Eine wichtige Transformationsformel“:
”
Sei X diskrete Zufallsvariable mit Zielbereich S
und h Abbildung von S nach R
(so dass der Erwartungswert der Zufallsvariablen h(X)
wohldefiniert ist). Dann ist
E[h(X)] =
X
h(a)P{X = a} .
a∈S
7
Beweis.
X
E[h(X)] =
b P{h(X) = b}
b∈h(S)
X
=
X
b
P{X = a}
b∈h(S) a∈h−1(b)
X
=
X
b P{X = a}
b∈h(S) a∈h−1(b)
=
X
X
h(a) P{X = a}
b∈h(S) a∈h−1(b)
=
X
h(a) P{X = a} .
a∈S
8
Für eine Zufallsvariable X mit den Komponenten X1, X2
(ein “zufälliges Paar” X = (X1, X2) )
schreibt sich die Transformationsformel als
=
X
X
E[h(X1, X2)]
h(a1, a2) P{X1 = a1, X2 = a2} .
a1∈S1 a2∈S2
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Satz [Linearität des Erwartungswertes]
Für reellwertige Zufallsvariable X1, X2
mit wohldefiniertem Erwartungswert gilt
E[c1X1 + c2X2] = c1E[X1] + c2E[X2] ,
c1, c2 ∈ R .
10
Beweis.
Seien S1, S2 ⊂ R die Zielbereiche von X1, X2.
Aus der Transformationsformel folgt mit
h(a1, a2) := c1a1 + c2a2:
11
E[c1X1 + c2X2]
X
X
=
(c1a1 + c2a2) P{X1 = a1, X2 = a2}
a1∈S1 a2∈S2
X
= c1
a1∈S1
a2∈S2
X
X
+ c2
a2∈S2
= c1
a1
X
X
a1∈S1
a2
P{X1 = a1, X2 = a2}
P{X1 = a1, X2 = a2}
a1∈S1
a1P{X1 = a1} + c2
X
a2P{X2 = a2}
a2∈S2
= c1E[X1] + c2E[X2]
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Ein wichtiger Fall ist
Y = X1 + · · · Xn,
wobei die X1, . . . , Xn nur die Werte 0 oder 1 annehmen.
Dann gilt
E[Xi] = 1 · P[Xi = 1] + 0 · P[Xi = 0] = P[Xi = 1]
und somit
E[Y ] = P{X1 = 1} + · · · + P{Xn = 1} .
13
Satz: Der Erwartungswert einer Bin(n, p)-verteilten
Zufallsvariablen X ist
E[X] = np.
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Beweis durch Zerlegen der Zufallsvariablen X “:
”
Weil der Erwartungswert von X
durch die Verteilung von X bestimmt ist,
können wir ohne Einschränkung annehmen, dass X
die Summe Z1 + · · · + Zn der Erfolge beim n-maligen
Münzwurf mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ist.
Für einen einmaligen Münzwurf Z1 gilt E[Z1] = p .
Aus der Linearität des Erwartungswertes folgt damit sofort
E[X] = E[Z1 + · · · + Zn] = np . 15