Binomialverteilung Beschreibt die Zufallsvariable X die Trefferzahler

Binomialverteilung
Beschreibt die Zufallsvariable X die Trefferzahler bei einer
Bernoullikette, so heißt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X
Binomialverteilung. Es gilt:
n
P(X  k)     pk  qnk
k 
Die Zufallsvariable X heißt binomialverteilt mit den
Parametern n und p, kurz Bn;p  verteilt.
Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen
Beispiel:
Welche Trefferzahl wird man bei 30 Freiwürfen erwarten, wenn
ein Basketballspieler mit 60% Wahrscheinlichkeit trifft?
Erwartungswert: 30 
60
 18 d.h. allgemein:   E(X)  n  p .
100
genauer: E(X)  k 1  P(X  k 1 )  ....  k n  P(X  k n )
Z.B. für n = 3 erhält man:
k
P(X = k)
0
q3
1
3pq2
2
3p2 q
E(X)  0  q3  1 3pq2  2  3p2q  3  p3
 3pq2  6p2 q  3  p3
 3p  (q2  2qp  p2 )
 3p  (q
 p)2  3p

1
3
p3
Für die allgemeine Herleitung wird der binomische Lehrsatz
benötigt.
Schaubildern von binomialverteilten Zufallsvariablen
 Binomiver
 BinomiVerSum
 Excel
 Mathe-Interaktiv
Maximum der Binomialverteilung
n
P(X  k)     pk  qn k
k 
n  (n  1)  ...  (n  k  1) k n k

p q
k!
n = 24 ; p = 0,43
P(X  k  1)

P(X  k)
n(n 1)...(n k ) k 1 n k 1
p q
(k 1)!
n(n 1)...(n k 1) k nk
p q
k!
P(X  k  1)
1 
P(X

k)



nk p

k 1 q
nk p
  1  np  k p  k q  q
k 1 q
n  p  q  (p
 q)  k  n  p  q  k
1

P(X  k  1)
1 
P(X  k)
np  q  k
Wenn E(X)  n  p ganzzahlig ist, dann ist bei E(X) das Maximum.