binomialverteilung

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BINOMIALVERTEILUNG
ab Ende der 11. Schulstufe
Eine Binomialverteilung der Zufallsvariablen X mit den Parametern p und n wird mit der
n
Formel P (X = k) =   pk ( 1− p )n − k
k≤n
beschrieben.
k 
a) Unter welchen Bedingungen ist eine Zufallsvariable X binomialverteilt?
Erkläre die Bedeutung der Variablen n und p in der Formel.
b) Eine Maschine erzeugt Glühbirnen mit einem Ausschussanteil von 1%.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 6000 Glühbirnen 60 bis 75 Stück
schadhaft sind. Dokumentiere deinen Lösungsweg.
Möglicher Lösungsweg
a) Eine Zufallsvariable X heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p, wenn gilt:
(1) Ein bestimmter Versuch wird zu gleichen Bedingungen n−mal durchgeführt.
(2) Jeder Teilversuch hat genau zwei mögliche Ausfälle, die mit den Wahrscheinlichkeiten p und (1 − p) eintreten. Diese Wahrscheinlichkeiten bleiben für
jeden Teilversuch unverändert.
(3) X ist die Anzahl der Versuche in denen das Ereignis eintritt.
(4) P(X = k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Teilversuchen das Ereignis
k−mal eintritt (und (n − k)−mal nicht eintritt).
n
(5)   ist die Anzahl der Möglichkeiten, dass bei n Teilversuchen das Ereignis
k 
k−mal eintritt.
 6000 
 ⋅ 0,01k ⋅ 0,99 6000 −k
k 
k = 60
75
b) P(60 ≤ X ≤ 75) = P(X=60) + P(X=61)+…+P(X=75) =
∑ 
Abb. 1
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 49,2 % .
keine Hilfsmittel erlaubt
Binomialverteilung
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Klassifikation
Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension
a)
H4
•
b)
H2
•
mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines
bestimmten mathematischen Begriffs, eines Modells, einer Darstellung oder eines
bestimmten Lösungswegs bzw. für oder gegen eine bestimmte Lösung oder
Interpretation sprechen
elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und
durchführen
Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension
a)
b)
I4
•
I4.7 diskrete Verteilung: Binomialverteilung
Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension
a)
b)
K3
K2
•
•
Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren
Herstellen von Verbindungen
Nachhaltigkeitserwartung
a)
N2
•
b)
N4
•
eher verfügbar: Einzelne Begriffe, Definitionen oder Formeln müssen nachgelesen
werden.
"wieder holbar": Grundbegriffe und strukturelle Zusammenhänge müssen "wiedergeholt" werden.
Technologieeinfluss
Für das Lösen dieser Aufgabe ist regelmäßiger Technologieeinsatz im Unterricht
erforderlich.
vorteilhaft.
neutral.
Kommentar
Technologie ist vor allem wegen des großen Rechenaufwandes beim Teil b) erforderlich.
In Klassen ohne Technologieeinsatz wird dieser Teil wahrscheinlich mit dem Modell der
Normalverteilung gelöst werden.
Binomialverteilung
2
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