Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungsaufgaben Ü7 FH Campus

Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungsaufgaben
Ü7
FH Campus Wien TM, WS 2017/18
Übungsaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Blatt 4
23. Eine bestimmte Diplomarbeit im Umfang von 75 Seiten enthalte gezählte 144 Druckfehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine beliebige Seite dieser Arbeit
einen, zwei oder gar mehr als zwei Fehler aufweist? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
die Seite fehlerfrei? Rechnen Sie (a) einmal mit der Poisson-Verteilung und (b) einmal
mit der Binomialverteilung.
24. Man zeige: Für die Binomialverteilung B(n,p) bzw. die Poisson-Verteilung Po(λ) kann
die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten pk = P(X = k) mit Hilfe der Rekursionsformel
n−k p
p k für k = 0,1,..., n − 1
(a) B(n,p): p k +1 =
k +1 q
λ
(b) Po(λ): p k +1 =
p k für k = 0,1, 2,...
k +1
durchgeführt werden. Wie groß muss dabei jeweils das Anfangsglied p0 sein?
25. Mit Hilfe von Excel führe man einen graphischen Vergleich zwischen der Binomialverteilung, der hypergeometrischen und der Poisson-Verteilung durch. Insbesondere
veranschauliche man das Konvergenzverhalten Hyp(n, N, M = pN) → B(n, p) für N → ∞
sowie B(n, p) → Po(λ = np) für n → ∞.
26. Die Lebensdauer eines technischen Geräts werde durch eine geometrische Verteilung
Geo(p) beschrieben.
(a) Man bestimme den Parameter p, wenn die mittlere Lebensdauer µ = 15 Tage beträgt?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät nach einer Woche noch
funktioniert?
27. Man berechne nachstehende Wahrscheinlichkeiten für eine gemäß N(µ = 1, σ2 = 0,01)
normalverteilte Zufallsvariable X:
•
P(X > 1)
•
P(X < 0,75)
•
P(0,9 < X < 1,1)
•
P(X > c) = 0,2, c = ?
28. Man zeige: Ist X eine N(µ,σ2)-verteilte Zufallsvariable und a,b ∈ —, dann gilt
b −µ
a −µ
(i) P(a ≤ X ≤ b) = Φ (
) − Φ(
)
σ
σ
b−µ
(ii) P(X ≤ b) = Φ (
)
σ
a −µ
)
(iii) P(X ≥ a) = 1 − Φ (
σ
Wahrscheinlichkeitsrechnung Übungsaufgaben
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29. Eine Fluglinie weiß aus Erfahrung, dass durchschnittlich 5% der Fluggäste, die ein
Ticket gebucht haben, den Flug nicht benützen und verkauft daher 205 Tickets, obwohl
nur 200 Sitzplätze vorhanden sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer
Überbuchung?
(Hinweis: Verwenden Sie den Grenzwertsatz von Moivre und Laplace.)
30. Geben Sie allgemein eine Formel zur Berechnung des p-Quantils xp einer logarithmischen Normalverteilung LN(µ, σ2) an. Bestimmen Sie damit insbesondere die Quartile
Q1 = x0,25, Q2 = x0,5 und Q3 = x0,75 sowie den Erwartungswert für die Lognormalverteilung mit den Parametern µ = 4,6 und σ2 = 0,1. Skizzieren Sie die Dichtefunktion
dieser Verteilung.