Folien zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch

Folien zur Vorlesung
“Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse”
19.11.2015
6.4 POISSON-Verteilung:
Definition:
Sei X : Ω → N0 = {0, 1, 2, . . . } eine Zufallsvariable.
Dann ist X POISSON-verteilt mit dem Parameter λ > 0, falls
P[X = k] =
λk −λ
e
k!
für alle k ∈ N0 .
Bemerkungen:
• Die Poisson-Verteilung entsteht aus der Binomialverteilung, falls der
Erfolgsparameter p sehr klein ist und man n → ∞ gehen läßt.
• Daher wird die Poisson-Verteilung auch die “Verteilung der seltenen
Ereignisse” bezeichnet.
• Sie ist tatsächlich eine Verteilung, denn:
X
P[X = k] =
k≥0
X λk
k≥0
(Zur Erinnerung: ex =
k!
e−λ = e−λ
X λk
k≥0
k!
X
k·
= e−λ eλ = 1.
P
xk
k≥0 k! .)
Erwartungswert:
EX
=
X
=
X
=
X
k · P[X = k] =
k≥0
k≥0
k
k·
λ −λ
e
k!
λ·
λk−1 −λ
e
(k − 1)!
λ · e−λ
X λk−1
(k − 1)!
=
λ · e−λ
X λl
=
−λ
k≥1
k≥1
=
k≥1
k=l+1
λ·e
l!
l≥0
| {z }
=eλ
λ
· e = λ.
λk −λ
e
k!
Varianz:
E[X 2 ]
=
X
=
X
=
X
k 2 · P[X = k] =
k≥0
k≥0
k2 ·
k·λ·
λ·
X
λ·
X
k≥1
=
k
λk−1 −λ
e
(k − 1)!
λk−1 −λ
e
(k − 1)!
(l + 1)
l≥0
=
λ·
X
l≥0
|
=
λk −λ
e
k!
λ −λ
e
k!
k≥1
k=l+1
k2 ·
k
k≥1
=
X
λl −λ
e
l!
X λl
λl −λ
e−λ
l · e +λ ·
l!
l!
l≥0
{z
}
=EX=λ
λ2 + λ · e−λ ·
X λl
l!
l≥0
| {z }
= λ2 + λ.
=eλ
Damit erhalten wir die Varianz als
VarX = E[X 2 ] − (EX)2 = λ2 + λ − λ2 = λ.
Weitere Bemerkungen:
• Oft werden Sachverhalte durch Poisson-Verteilungen modelliert, wobei
in einem Zeitintervall die durchschnittliche Anzahl von eintretenden Ereignissen bekannt ist. Der Parameter λ wird dann als dieser
Durchschnittswert gesetzt.
• Sei X eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Parameter λ > 0, welche die Anzahl der eintretenden Ereignisse in einem Zeitintervall [0, 1]
beschreibt. Sei Y die Zufallsvariable, welche die Anzahl der eintretenden Ereignisse in einem Zeitintervall [0, t], t > 0, beschreibt. Dann ist
Y Poisson-verteilt mit dem Parameter λ · t.
Beispiel: An einer gefährlichen Straßenkreuzung finden im Durchschnitt pro
Woche zwei Unfälle statt. Die Anzahl der Unfälle in einer Woche werde durch
eine Poisson-verteilte Zufallsvariable N beschrieben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Woche maximal zwei Unfälle passieren.
Approximation der Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung:
Seien sehr großes n ∈ N und sehr kleines p ∈ (0, 1) gegeben. Man betrachte
folgende Zufallsvariablen:
X Poisson-Verteilt mit Parameter λ = n · p
Y binomialverteilt mit Parameter n und p
Dann gilt:
= n · p = λ = EX,
= n · p · (1 − p) = λ · (1 − p) = (1 − p) · VarX,
EY
VarY
d.h. falls p sehr klein ist, gilt VarY ≈ VarX. Daher kann die Binomialverteilung unter Zuhilfenahme der folgenden Faustregel mit Hilfe der PoissonVerteilung approximiert werden:
Faustregel: Falls n ≥ 30 und p ≤
1
,
10
so gilt für k ∈ N0 :
P[X = k] ≈ P[Y = k]
6.5 Diskrete Gleichverteilung:
Definition:
Seien x1 , . . . , xn ∈ R, n ∈ N. Eine Zufallsvariable X : Ω → {x1 , . . . , xn } heißt
gleichverteilt auf der Menge {x1 , . . . , xn }, falls für alle i ∈ {1, . . . , n} gilt:
P[X = xi ] =
1
.
n
Erwartungswert:
EX =
n
X
xi · P[X = xi ] =
i=1
n
X
xi
i=1
n
=
x1 + x2 + · · · + xn
n
Spezialfall:
Falls X : Ω → {1, . . . , n} gleichverteilt auf der Menge {1, . . . , n} ist:
n
n
X
1 X Mathe A! 1 n(n + 1)
n+1
1
·i=
=
,
i =
EX =
n
n i=1
n
2
2
i=1
E[X 2 ] =
n
n
X
1X 2
1 2
i
·i =
n
n
i=1
i=1
Mathe A!
=
1 n(n + 1)(2n + 1)
(n + 1)(2n + 1)
=
,
n
6
6
(n + 1)(2n + 1) (n + 1)2
−
VarX = E[X ] − (EX) =
6
4
4n2 + 6n + 2 − 3n2 − 6n − 3
n2 − 1
=
=
.
12
12
2
2