Blatt 6
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Statistik II für Studierende der Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Christian Heumann Übungsblatt 6 SoSe 2016 Aufgabe 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim 500-maligen Werfen eines Würfels das Ergebnis gerade Zahl geworfen“ um höchstens 25 von seinem Erwartungs” wert abweicht? Verwenden Sie dazu die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung! Aufgabe 2: Angenommen, Sie arbeiten bei einer Kfz-Versicherung und Ihr Chef beauftragt Sie, für die Anzahl der jährlichen Schadensfälle pro Versicherungsnehmer ein Verteilungsmodell aufzustellen. Sie erinnern sich an Ihr Statistik-II-Studium und wissen, dass die Anzahl von Ereignissen in einem fest vorgegeben Zeitintervall mittels einer Poissonverteilung modelliert werden kann. Was Sie allerdings nicht wissen, ist, wie in diesem Fall die Rate λ zu wählen ist. Glücklicherweise fällt Ihnen das Ergebnis einer unabhängigen Zufallsstichprobe von fünf Versicherten in die Hände, das Aufschluss darüber gibt, wieviele Schadensfälle jene letztes Jahr gemeldet haben: Die ersten beiden hatten je einen Schadensfall, der dritte hatte zwei Schadensfälle und die übrigen zwei kamen schadensfrei durchs Jahr. Wie kann man gemäß des Maximum-LikelihoodPrinzips von dieser Stichprobe auf die Rate λ schließen? Aufgabe 3: Gegeben sei eine i.i.d. Stichprobe x = (x1 , . . . , xn ) einer Poisson-verteilten Zufallsvariable X ∼ P o(λ). Bestimmen Sie den ML-Schätzer für λ! Aufgabe 4: Gegeben sei eine i.i.d. Stichprobe x = (x1 , . . . , xn ) einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariable X ∼ B(1, p) mit P (X = 1) = p und P (X = 0) = 1 − p. Bestimmen Sie den ML-Schätzer für p! (Hinweis: Bei dieser Aufgabe dürfen Sie auf eine Überprüfung der zweiten Ableitung verzichten.)
