1. ¨Ubung zur Statistik II für WiWi
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Dr. Christina Surulescu 24.04.2009 http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/ WiS − Surulescu − SS09/stat2.shtml 1. Übung zur Statistik II für WiWi Aufgabe 1: [Nicht raten bei der Prüfung!] Ein Student, der keine Zeit/Lust hat, sich auf einen 20 -Fragen-Multiple-Choice-Test vorzubereiten, beschließt, bei jeder Frage die Antwort einfach zu raten. Dabei besitzt jede Frage fünf Antwortmöglichkeiten. (i) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable, welche die Anzahl der richtigen Antworten angibt? Wieviele Fragen wird der Student im Mittel richtig beantworten? (ii) Der Test gilt als bestanden, wenn zehn Fragen richtig beantwortet sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Studenten, den Test zu bestehen? Wo müßte die Grenze liegen, wenn die Chance des Studenten, die Klausur durch Raten zu bestehen, größer als 5% sein soll? Hinweis. Die kummulative Binomialverteilung kann man direkt aus der entsprechenden Tabelle ablesen (s. Material zur Vorlesung auf der Webseite). Aufgabe 2: [Fußballspiel] Bei einem Fußballspiel kommt es nach einem Unentschieden zum Elfmeterschießen. Zunächst werden von jeder Mannschaft fünf Elfmeter geschossen, wobei eine Mannschaft gewinnt, falls sie häufiger getroffen hat als die andere. Nehmen wir an, daß die einzelnen Sch üsse unabhängig voneinander sind und jeder Schütze mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6 trifft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß es nach zehn Schüssen (fünf pro Mannschaft) zu einer Entscheidung kommt? Aufgabe 3: [Binomialverteilung (eventuell)] Eine Zufallsvariable X nimmt nur die Werte 0 , 1 oder 2 an. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) = P (X = x) hängt von einem Parameter α ∈ [0, 1] wie folgt ab: P (X = 0) = 0.24 P (X = 1) = 0.35 · α P (X = 2) = 0.35 · (1 − α). Für welchen Wert von α ist X binomialverteilt? Aufgabe 4: [Linearität und Produktregel] Betrachten wir zwei unabhängige Zufallsvariablen X , Y , beide binomialverteilt mit Parametern n = 1 und p , bzw. n = 1 und q . Überprüfen Sie folgende Linearitätseigenschaften: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) und die Produktregel E(XY ) = E(X)E(Y ). Aufgabe 5: [Binomialverteilung mit maximaler Varianz] Für welchen Wert von p hat eine binomialverteilte Zufallsvariable X bei festem n maximale Varianz? Aufgabe 6: [Unfallversicherung] Die Mitarbeiter einer Rückversicherung müssen die Prämien für Versicherungen gegen Großunfälle kalkulieren. Aus Erfahrung wissen sie, daß im Mittel 4.3 , bzw. 4.9 Großunfälle im Winter- bzw. Sommerhalbjahr passieren. (i) Welche Verteilungsannhame ist für die Zufallsvariablen X = Y = Anzahl der Großunfälle im Winterhalbjahr Anzahl der Großunfälle im Sommerhalbjahr sinnvoll? (ii) Wie wahrscheinlich ist es, daß im Winterhalbjahr höchstens zwei Großunfälle passieren? Wie wahrscheinlich ist es im Sommerhalbjahr? (iii) Wie wahrscheinlich ist es, daß sowohl im Winter- als auch im Sommerhalbjahr nicht mehr als zwei Großunfälle vorfallen? Welche Annahme würden Sie dabei machen? Aufgabe 7: [Glühbirnen] Laut Werbung hat ein gewisser Typ von Glühbirnen eine Brenndauer von durchschnittlich 1200 Stunden. Wenn die Glühbirnen dieser Marke durchschnittlich nur 1185 Stunden (mit einer Standardabweichung von 80 Stunden) brennen können, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Probe von 100 Glühbirnen eine durchschnittliche Brenndauer von mindestens 1200 Stunden hat? Aufgabe 8: [Fatale Unterschätzung kleiner Wahrscheinlichkeiten] Nach der Katastrophe von Challenger in 1986 stellte man fest, daß defekte O-Ringe für die Explosion verantwortlich waren. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen O-Rings, defekt zu sein und nachzugeben, war damals 0.003 und es gab insgesamt 12 solche Ringe (6 innen und 6 außen). Wie groß war die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens einer der O-Ringe nachgeben würde (was auch passiert ist)? Aufgabe 9: [Eine stetige Zufallsvariable] Für eine stetige Zufallsvariable X ist 4ax, −ax + 21 , f (x) = 0, 0≤x<1 1≤x≤5 sonst. (i) Bestimmen Sie den Parameter a , sodaß f (x) eine Dichtefunktion von X ist. (ii) Ermitteln Sie die zugehörige Verteilungsfunktion und skizzieren Sie deren Verlauf. (iii) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X .
