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Rolf Wanka
Alexander Raß, Moritz Mühlenthaler
Erlangen, 18. April 2016
Übungen zur Vorlesung
Randomisierte Algorithmen
SS 2016
Blatt 2
AUFGABE 4:
Sei H (i) = ∑ik=1 1k die i-te Harmonische Zahl. Zeigen Sie:
n−1
n
∑ ∑
i=1 j=i+1
2
= (2n + 2) · H (n) − 4n
j−i+1
In der Vorlesung wurde gezeigt, daß dies der Erwartungswert für die Anzahl der Vergleiche ist, die
R AND QS beim Sortieren von n Schlüsseln benötigt.
Mit der Abschätzung ln(i + 1) ≤ H (i) ≤ ln i + 1 bestimmen Sie einen möglichst kleinen Faktor c,
mit dem die obige Summe durch c · n · log2 n abgeschätzt werden kann.
AUFGABE 5:
Betrachten Sie den folgenden randomisierten Algorithmus:
A LGORITHMUS Unbekannt
for t := 1 to T do
(1) würfle(unabhängig und gleichverteilt (x, y) mit − 12 ≤ x, y ≤ 12 ;
1 falls 4x2 + 4y2 ≤ 1
(2) Xt :=
0 sonst
done;
4 T
gib Z := · ∑ Xt aus;
T t=1
(a) Berechnen Sie E[Z].
Hinweis: Welches geometrische Objekt wird durch die ≤-Bedingungen in (1) und welches
durch den ≤-Test in (2) beschrieben?
(b) Geben Sie in Abhängigkeit von d ∈ IN und δ, 0 < δ < 1, einen möglichst kleinen Wert für T
an, so daß gilt:
Pr[Z und E[Z] stimmen auf den ersten d Nachkommastellen überein] ≥ 1 − δ
Benutzen Sie dazu zwei Ansätze: Wenden Sie zuerst die Tschebyscheffsche Ungleichung an,
um T zu bestimmen, dann bestimmen Sie T unter Anwendung der Chernoff-Schranken.
(Auf der Rückseite geht es weiter õ)
Zur Erinnerung:
• Tschebyscheffsche Ungleichung: Sei X eine Zufallsvariable. Für jedes ε > 0 gilt:
Pr[|X − E[X]| ≥ ε] ≤
Var[X]
.
ε2
• Chernoff-Schranke: Seien X1 , . . . , Xn unabhängige 0-1-Zufallsvariablen. Dann gilt für X =
∑ni=1 Xi und E[X] = ∑ni=1 Pr[Xi = 1] und jedes ε, 0 < ε ≤ 1:
2 /4
Pr[|X − E[X]| ≤ ε · E[X]] ≥ 1 − 2e−E[X]ε
AUFGABE 6:
Beim S AMMELALBUM -P ROBLEM in Aufgabe 3 auf Blatt 1 haben wir ein Experiment kennengelernt, bei dem eine Aktion genau solange unabhängig wiederholt wird, bis sie erfolgreich war.
Bezeichne die Zufallsvariable X die Anzahl der durchgeführten Aktionen. Wenn ein einzelner Versuch mit Wahrscheinlichkeit p erfolgreich ist, ist die Anzahl der Aktionen geometrisch verteilt:
Pr[X = i] = p · (1 − p)i−1
Berechnen Sie E[X] und Var[X].
AUFGABE 7:
In einer Kiste liegen n Bälle mit den eindeutigen Beschriftungen 1, . . . , n. Aus der Kiste werden
ohne Zurücklegen k Bälle gezogen. Berechnen Sie den Mittelwert und die Varianz der Summe S
der gezogenen Bälle. Welche konkreten Werte kommen bei n = 49 und k = 6 heraus?
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