7. Übung als

Rudolf Gorenflo
Gido Scharfenberger-Fabian
Ausgabe: 3.12.2004
Abgabe: 13.12.2004, 12 Uhr
Statistik für Biologen
– Wintersemester 2004/2005 – 7. Übung –
Klausurtermin: 1. Februar 2005, 12-14 Uhr; der Ort steht noch nicht fest.
Aufgabe 1 (Unabhängigkeit) (a) Unabhängigkeit von Ereignissen: Für die Merkmale A
und B wurden bei einer statistischen Erhebung bei n = a + b + c + d Probanden die
in der folgenden Tabelle eingetragenen Häufigkeiten festgestellt:
B
B
A
a
c
A
b
d
Welche Beziehung muss zwischen den Häufigkeiten a, b, c und d bestehen, damit die Merkmale A und B unabhängig sind ? (Wie üblich werden die unbekannten Wahrscheinlichkeiten
durch die relativen Häufigkeiten ersetzt.)
Die Erhebung eines weiteren Merkmales C in derselben Gruppe führt zur weiteren Aufteilung a = a0 + a1 , b = b0 + b1 , c = c0 + c1 und d = d0 + d1 . Welche Bedingungen müssen
diese Werte erfüllen, damit die Merkmale A, B und C als simultan stochastisch unabhängig
angesehen werden ?
(b) Unabahängigkeit von Zufallsvariablen: Für den Ergebnisraum Ω = {(i, j)|1 ≤ i, j ≤ 6} mit
Laplace-Wahrscheinlichkeit (z.B. Würfeln mit zwei fairen Würfeln) betrachten wir die
Zufallsvariablen X(i, j) = i + j und Y (i, j) = i · j. Weisen Sie nach, dass X und Y nicht
unabhängig sind.
Aufgabe 2 (Zufallsvariable) (a) Roulette: In jeder Runde wird eine der gleichwahrscheinlichen Zahlen 0, . . . , 36 im Roulette ermittelt. Die Spieler setzen Geld auf das Eintreten eines
bestimmten Ereignisses. Die Bank kassiert bei Nichteintreten des Ereignisses, ansonsten
bekommt der Spieler seinen Einsatz und dazu einen Gewinn ausgezahlt. Zwei mögliche
Ereignistypen sind die folgenden:
(i) Zahl. Der Spieler setzt auf eine der 37 Zahlen. Der Gewinn beträgt das 35-fache des
Einsatzes.
(ii) Gerade/Ungerade. Der Spieler setzt auf alle ungeraden Zahlen oder auf die geraden
ohne die Null. Der Gewinn ist gleich dem Einsatz.
Beschreiben Sie für beide Arten zu setzen bei einem Einsatz von 10 Euro den Gewinn/Verlust
des Spielers als Zufallsvariable und berechnen sie deren Erwartungswert und Varianz.
Interpretieren Sie diese Ergebnisse im Hinblick auf Gewinnerwartung und Nervenkitzel.
(b) Lebensversicherung: Ein 50-jähriger Mann will eine Risikolebensversicherung mit einer
Laufzeit von einem Jahr abschließen. Die Wahrscheinlichkeit, im Laufe des nächsten Jahres
zu sterben, gibt das Statistische Jahrbuch für einen gesunden Mann dieses Alters mit 0,6%
an. Es gibt ein Angebot mit einer Versicherungssumme von 20000 Euro zum Preis von 250
Euro. Wieviel verdient die Versicherungsgesellschaft im Schnitt an solchen Verträgen ?
Beschreiben Sie den Ergebnisraum die Wahrscheinlichkeiten und die Zufallsvariable für
diese Situation.
Aufgabe 3 (Wahrscheinlichkeitsdichte) Wir betrachten die Funktion
(
1 − |x| falls |x| ≤ 1
f (x) =
0
sonst
als Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen X.
(a) Berechnen Sie P ({X ≤ x}) für x = −0.5, 0, 0.5 und 1.
(b) Berechnen und skizzieren Sie die zugehörige Verteilungsfunktion FX . Die Werte F (−1), F (0)
und F (1) sollten deutlich zu erkennen sein.
(c) Bestimmen Sie das 0.8-Quantil, also die Zahl x, die von X mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit
übertroffen wird, sprich: FX (x) = 0.8.