Stochastik I - Mathematik, TU Dortmund

TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Woerner
M. Sc. R. Shevchenko
M. Sc. V. Schulmann
Sommersemester 2017
Stochastik I
Blatt 5
Abgabe der Übungsaufgaben:
Montag, 22.05.2017, 13.00 Uhr, in festen Zweiergruppen und getrennt nach
Aufgaben (die entsprechenden Briefkastennummern sind im jeweiligen
Aufgabenkopf vermerkt). Schreiben Sie unbedingt Ihre Gruppendaten auf
jede Abgabe!
Hinweis: Nutzen Sie für die Aufgaben die (allgemeine) Definition der Unabhängigkeit über das Produkt der Wahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 1
(5 Punkte, Briefkasten Nr. 26)
Sei (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie:
a) Wenn (Bn )n∈N ⊂ Ω mit P (Bn ) = 1 für alle n ∈ N, dann gilt für alle B ⊂ Ω:
!!
\
P B∩
Bn
= P (B)
n∈N
b) Eine diskrete Zufallsvariable X : Ω → Ω0 ist genau dann stochastisch unabhängig von allen Zufallsvariablen Y auf (Ω, P ), wenn X fast sicher konstant
ist (d.h. es existiert c ∈ Ω0 mit P (X = c) = 1).
Aufgabe 2
(5 Punkte, Briefkasten Nr. 28)
Seien (Xi )i=1,2,3 Zufallsvariablen mit P (Xi = 0) = P (Xi = 1) = 21 für i = 1, 2, 3.
Definieren Sie eine Verteilung des Vektors (X1 , X2 , X3 ) derart, dass die Familie
(Xi )i=1,2,3 paarweise stochastisch unabhängig aber nicht stochastisch unabhängig
ist.
Aufgabe 3
(5 Punkte, Briefkasten Nr. 36)
Die reelle Zufallsvariable X mit
1
P (X = −2) = ,
5
1
P (X = 0) = ,
2
1
P (X = −1) = ,
6
1
P (X = 1) = P (X = 2) =
15
beschreibt den Wasserstand in einem Stausee.
a) Berechnen Sie für das Umweltamt die Wahrscheinlichkeit P ((X − 1)2 < 2).
b) Bestimmen Sie die Verteilung des amtlich renormierten“
”
Y := |X| − 5.
Wasserstands
c) Überprüfen Sie, ob X und Y stochastisch unabhängig sind.
Aufgabe 4
(5 Punkte, Briefkasten Nr. 37)
Zeigen Sie folgende Aussage aus der Vorlesung: Sei (Ω, P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und seien Ai ⊆ Ω für i ∈ N. Es gilt für alle n ∈ N:
!
n
n
\
Y
{Ai }1≤i≤n sind stoch. unabh. ⇔ P
Bi =
P (Bi )
i=1
i=1
für alle Bi ∈ {Ai , Aci }, 1 ≤ i ≤ n.
Die neuen Übungsblätter, Modalitäten zur Abgabe sowie weitere
Informationen zur Veranstaltung finden Sie auf unserer Homepage:
www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2017Sommer/StochI/index.htm