Statistik III - Schätzen und Testen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
FAKULTÄT STATISTIK
Dr. Th. Ziebach
B.Sc. L. Holtmann
B.Sc. R. Löser
B.Sc. S. Neumärker
Wintersemester 2013/14
29.10.2013
Blatt 3
Übungen zur Vorlesung
Statistik III - Schätzen und Testen
Aufgabe 7
Seien X1 und X2 unabhängig identisch gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1].
(a) Zeigen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes, dass die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen Z1 := X1 + X2 und Z2 := X1 − X2 durch
g(z1 , z2 ) =
1
·1
(z2 ) · 1[|z2 |,2−|z2 |] (z1 )
2 [−1,1]
gegeben ist.
(b) Berechnen Sie jeweils die Randdichten von Z1 und Z2 .
Aufgabe 8
Der Zufallsvektor (X, Y )0 hat für ein λ > 0 die Dichte
fλ (x, y) = λx exp(−x(y + λ)),
x, y ≥ 0
(a) Zeigen Sie, dass X exponentialverteilt ist mit Erwartungswert 1/λ.
(b) Bestimmen Sie die Randdichte von Y .
(c) Bestimmen Sie die Dichte der bedingten Verteilung von Y gegeben X.
(d) Sind X und Y stochastisch unabhängig?
Aufgabe 9
Die Zufallsvariablen Y1 , ..., Yn , Z1 , ..., Zm seien stochastisch unabhängig mit P Yi = P oi(λ),
i = 1, ..., n und P Zj = P oi(ν), j = 1, ..., m und λ ∈ R+ , ν ∈ R+ .
Weiter sei
S :=
n
X
i=1
Yi +
m
X
j=1
Zj ,
T :=
m
X
j=1
Zj ,
U=
n
X
Yi
i=1
(a) Bestimmen Sie die Zähldichte von S, T und U .
(b) Berechnen Sie die Zähldichte der Verteilung P U,S .
(c) Bestimmen Sie die Zähldichte von P U |S=s . Welche bekannte Verteilung ergibt sich im Falle
s = 0 und welche im Fall s ∈ {1, 2, ...}
(d) Bestimmen Sie E(U |S = s) und V ar(U |S = s) für den Fall λ = ν, unterscheiden Sie dabei
den Fall s = 0 und s ∈ {1, 2, ...}.
Abgabe: Bis Montag, 04.11.2013, 10 Uhr, in dem zur Übung gehörenden Briefkasten im MatheFoyer: (Mi. 10.15 Uhr, Briefkasten 136), (Fr. 8.30 Uhr, Briefkasten 137), (Fr. 12.15 Uhr, Briefkasten
138)
Homepage zur Vorlesung: http://www.statistik.tu-dortmund.de/iwus-lehre.html