Blatt 1 - Fakultät Statistik (TU Dortmund)

TU DORTMUND
Wintersemester 2016/2017
Fakultät Statistik
21. Oktober 2016
M.Sc. Melanie Dagge
Tutorium zur Vorlesung Statistik III (Schätzen und Testen)
Blatt 1
Aufgabe 1.1:
Gegeben sei für beliebiges θ < 1 die Zufallsvariable X und die Funktion
fX (x) = (1 − c) · x−θ · I[0,1] (x).
a) Bestimmen Sie einen Wert für c, so dass fX die Dichte von X ist.
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX und den Median von X.
Aufgabe 1.2:
Wir würfeln mit zwei Würfeln, die jeweils drei unterscheidbare Seiten besitzen, auf denen die Zahlen 1, 2, 3 stehen. Der erste Würfel ist fair, das heißt jedes Ergebnis ω = i,
1 ≤ i ≤ 3, tritt mit Wahrscheinlichkeit P ({ω}) = 31 auf. Bei dem zweiten Würfel dagegen
gilt P ({i}) = i · P ({1}), i = 2, 3. Wir betrachten die Zufallsvariablen S, D und X, wobei
S(ω) die Summe und D(ω) die absolute Differenz der gewürfelten Augenzahlen beschreibe.
Ferner sei X(ω) = 1, wenn die Augenzahl des zweiten Würfels 3 ist und X(ω) = 0 sonst.
a) Geben Sie jeweils die Dichte und die Verteilungsfunktion von S und D an.
b) Bestimmen Sie jeweils den Erwartungswert von S und D.
c) Bestimmen Sie jeweils die Varianz von S und D.
d) Sind zwei der Zufallsvariablen D, S und X paarweise stochastisch unabhängig?
e) Sind D, S und X vollständig stochastisch unabhängig?
Aufgabe 1.3:
Seien X, Y : Ω → R zwei Zufallsvariablen. Die Zufallsvariablen X und Y heißen identisch
verteilt, wenn sie die gleiche Verteilungsfunktion besitzen. Die jeweiligen Verteilungsfunktionen seien mit FX bzw. FY bezeichnet. Wir betrachten folgende Aussagen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
X und Y sind identisch verteilt.
X =Y
∀ ω ∈ Ω : X(ω) = Y (ω)
FX = FY
∀ t ∈ R : P ({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ t}) = P ({ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ t})
E(X) = E(Y ) und V ar(X) = V ar(Y )
X und Y sind unabhängig und identisch verteilt.
Welche Implikationen gelten zwischen den oben aufgeführten Aussagen? Tragen Sie in die
leeren Kästchen jeweils eines der logischen Zeichen ⇐=“, =⇒“oder ⇐⇒“ ein, falls die
”
”
”
entsprechende Implikation wahr ist oder “, falls die Aussagen widersprüchlich sind. Be”
gründen Sie Ihre Aussagen. Für die Aussagen gilt:
(vii)
(ii)
(iii)
(i)
(iv)
(v)
(vii)
(vi)
(ii)