7.¨Ubung Einführung in die Stochastik

Universität zu Köln
WS 2015/16
Institut für Mathematik
Dozent: Prof. Dr. A. Drewitz
Abgabe: 17.12. & 18.12. vor den Übungen
7. Übung Einführung in die Stochastik
(Konvergenzarten II, empirische Verteilungsfunktion, schwaches Gesetz der
großen Zahlen)
Hausaufgaben
1. Aufgabe
(5 Punkte)
Seien (Xn ) unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen auf (Ω, F , P) mit
X1 ∼ Uni[0, 1]. Wir definieren
mn := min Xi
und
1≤i≤n
Mn := max Xi .
1≤i≤n
mn und Mn sind dann Zufallsvariablen auf (Ω, F , P).
P
a) Zeigen Sie mn −→ 0. (2 Punkte)
D
b) Zeigen Sie n (1 − Mn ) −→ Z, wobei Z eine stetige Zufallsvariable ist,
und bestimmen Sie die Verteilung von Z. (3 Punkte)
2. Aufgabe
(5 Punkte)
Seien (Xn ) unabhängige, identisch verteilte, reelle Zufallsvariablen auf (Ω, F , P)
mit Verteilungsfunktion F . Für n ∈ N und x ∈ R fest definieren wir die empirische Verteilungsfunktion
F̂n (x) : Ω → [0, 1] ∩ Q,
n
1X
ω→
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F̂n (x) (ω) :=
1(−∞,x] (Xi (ω)) .
n i=1
P
Zeigen Sie, dass F̂n (x) eine Zufallsvariable ist und dass F̂n (x) −→ F (x) für
alle x ∈ R.
3. Aufgabe
(0 Punkte)
Seien (Xn ) Zufallsvariablen auf (Ω, F , P) mit E(Xi ) = a, Var(Xi ) = σi2 ,
Cov(Xi , Xj ) = 0 für i, j ∈ N mit |i − j| > m und σi2 ≤ αiβ , wobei m ∈ N,
α > 0 und β < 1 feste Konstanten sind.
Zeigen Sie, dass (Xn ) dem schwachen Gesetz der großen Zahlen genügt, d.h.
n
1X
P
(Xi − a) −→ 0.
n i=1
4. Aufgabe
(0 Punkte)
Seien (Xn ) unabhängige, identische verteilte Zufallsvariablen auf (Ω, F , P) mit
X1 ∼ Bin1,p , p ∈ (0, 1). Sei der k-te Erfolg durch
Tk := inf {n > Tk−1 : Xn = 1} , k ≥ 1,
T0 := 0,
und die Wartezeit zwischen dem (k − 1)-ten und dem k-ten Erfolg durch
Lk := Tk − Tk−1
definiert. Zeigen Sie:
a) (Ln ) sind identisch geometrisch verteilte Zufallsvariablen.
b) (Ln ) sindPpaarweise unabhängig. Gegen welchen Grenzwert konvergiert
Ln := n1 nk=1 Lk in Wahrscheinlichkeit?
Hinweis: Betrachten Sie für festes k ≥ 2 das Ereignis {Lk = n, Tk−1 = l}
P
r+n n
(n, l ∈ N) und zeigen Sie die Identität ∞
q = (1 − q)−(r+1) für r ∈ N
n=0
r
und q ∈ (0, 1).
Gesamtpunktzahl: 10
Anmerkung: Es sind nur die Aufgaben einzureichen, welche strikt positive
Punktzahlen haben. Sollten Sie für eine Aufgabe mehrere Blätter benötigen,
so sind diese zusammenzuheften. Bitte beschriften Sie Ihre Lösungen in der
ersten Zeile in der folgenden Reihenfolge: Gruppe, Name, Aufgabe.
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