Hausaufgabe 11 Abgabe bis 7./8. Juli 07:30

Technische Universität Chemnitz
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Stochastik
Hausaufgabe 11
Abgabe bis 7./8. Juli 07:30
Aufgabe 1. Seien X1 , X2 , . . . paarweise unabhängige, identisch verteilte und nichtnegative Zufallsvariablen mit E(X1 ) ∈ [0, ∞]. Zeigen Sie dass
n
1X
lim
Xi = E(X1 )
n→∞ n
i=1
für P-fast alle ω ∈ Ω gilt.
Aufgabe 2. Sei X1 , X2 , . . . eine Folge von Zufallsvariablen mit E(Xi ) = m und Var(Xi ) =
σ 2 für i ∈ N. Es gelte
|Cov(Xi , Xj )| ≤ r(|i − j|)
für eine Funktion r : N → (0, ∞). Zeigen Sie, daß unter der Bedingung
n−1
1 X
(n − k)r(k) → 0 für n → ∞
n2 k=1
(1)
an das Abklingen“ der Korrelationen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, d. h.
”
X1 + X2 + . . . + Xn
lim P − m > ε = 0 ∀ ε > 0.
n→∞
n
Zeigen Sie, daß die Bedingung limk→∞ r(k) = 0 die Bedingung (1) impliziert.
Hinweis: Definieren Sie sich die Zufallsvariable Sn = X1 +. . .+Xn . Für
reelle ZufallsPeine
n
2
variable X gilt E((X − E(X)) ) = Var(X). Beachten Sie Var(Sn ) = i,j=1 Cov(Xi , Xj ).
Aufgabe 3. Seien µ, µn (n ∈ N) Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem Maßraum (S, B(S))
und F, Fn (n ∈ N) die zugehörigen Verteilungsfunktionen. Weiterhin sei S(F ) = {x ∈
R | F stetig in x}. Für alle x ∈ S(F ) gelte Fn (x) → F (x) falls n → ∞. Zeigen Sie dass
die Folge (µn ) straff ist.
Aufgabe 4. (a) Seien X1 , . . . , Xn unabhängige reellwertige Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilungen bezüglich des Lebesgue-Maßes auf R:
Z
P({Xi ∈ B}) =
fXi (t)dt, B ∈ B(R).
B
Zeigen Sie: Die gemeinsame Verteilung von X1 , . . . , Xn ist absolutstetig bezüglich
des Lebesguemaßes auf Rn mit Dichte
f (t1 , . . . , tn ) =
n
Y
fXi (ti ).
i=1
(b) Umgekehrt seien X1 , . . . , Xn reellwertige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung absolutstetig mit einer Dichte in Produktform ist:
f (t1 , . . . , tn ) =
n
Y
fi (ti ),
fi : R → [0, ∞) messbar.
i=1
Zeigen Sie: X1 , . . . , Xn sind unabhängig und die Verteilungen sind absolutstetig mit
Dichten
fi
fXi = R
, 1 ≤ i ≤ n.
f (t)dt
R i