Stochastik I - Universität des Saarlandes

Prof. Dr. Christian Bender
Philip Oberacker
Universität des Saarlandes, Sommersemester 2014
17. Juni 2014
Stochastik I
Blatt 9
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Eine fairer Würfel werde unendlich oft geworfen. Wie hoch ist dabei die Wahrscheinlichkeit, dass
unendlich oft bei zwei aufeinander folgenden Würfen eine 6 geworfen wird?
Hinweis: Beachten Sie, dass die Folge von Ereignissen (An )n∈N mit
An := {“n-ter Wurf ist 6” und “n + 1-ter Wurf ist 6”}
nicht unabhängig ist.
Aufgabe 2
(5 Punkte)
Wir definieren für zwei reellwertige Zufallsvariablen X, Y auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P)
d(X, Y ) := E [|X − Y | ∧ 1]
(Hierbei bezeichnet a ∧ b das Minimum von a und b). Zeigen Sie, dass eine Folge reellwertiger
Zufallsvariablen (Xn )n∈N auf (Ω, A, P) genau dann in Wahrscheinlichkeit gegen eine reellwertige
Zufallsvariable X auf (Ω, A, P) konvergiert, wenn
d(Xn , X) → 0
Aufgabe 3
(n → ∞).
(4 Punkte)
Beweisen Sie, dass die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit den Grenzwert schon bis auf Modifikation
eindeutig festlegt.
Aufgabe 4
(3+3=6 Punkte)
(a) Seien (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger, reellwertiger Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) mit E[Xn ] = 0 für alle n ∈ N. Zeigen Sie mit Hilfe des
Lemmas von Borel-Cantelli: Genügt (Xn )n∈N dem starken Gesetz der großen Zahlen, so gilt
für alle > 0
∞
X
n=1
P
1
|Xn | ≥ < ∞.
n
(b) Sei die Folge (Xn )n≥2 so, dass
P
n
n
√ o
√ o
Xn = N
= P Xn = − N
=
1
2n log(n)
und
P ({Xn = 0}) = 1 −
1
.
n log(n)
Zeigen Sie, dass (Xn )n≥2 dem schwachen Gesetz der großen Zahlen, nicht jedoch dem starken
Gesetz der großen Zahlen genügt.