Stochastik 1 9. ¨Ubungsblatt

Stochastik 1
WS 2016/2017, FSU Jena
Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Lena-Susanne Boltz, Robert Hesse
Ausgabetermin:
Abgabetermin:
16.12.2016
06.01.2017
9. Übungsblatt
Aufgabe 91. Betrachten Sie die absolut stetige Zufallsvariable X gegeben durch
fX (x) =
1 1
π 1 + x2
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX und zeigen Sie, dass X keinen Erwartungswert besitzt.
Aufgabe 92. Seien (Xn )n∈N0 und (Yn )n∈N0 Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P)
P
P
mit Xn → X0 und Yn → Y0 für n → ∞. Zeigen Sie, dass dann gilt
P
(i) Xn + Yn → X0 + Y0 ,
P
(ii) Xn · Yn → X0 · Y0 ,
P
(iii) falls f : R → R stetig ist, so folgt f (Xn ) → f (X0 ).
Aufgabe 93. X1 , . . . , Xn seien unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen mit der jeweiligen Verteilungsfunktion F . Die empirische Verteilungsfunktion im Punkt x ∈ R ist definiert durch
n
Fn (x) :=
1X
I(−∞,x] (Xk ).
n
k=1
(a) Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von Fn (x) in Abhängigkeit von
F (x).
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(Fn (x) = Fn (y)) für x, y ∈ R.
√
(c) Für x ∈ R definieren wir die Zufallsgröße En (x) := n(Fn (x) − F (x)). Wie lautet die Kovarianz von
En (x) und En (y) für x, y ∈ R?
(d) Sei ε > 0. Was ist der Grenzwert von P(|Fn (x) − F (x)| ≥ ε) für n → ∞?
Aufgabe 94. Sei f : R → R eine in a ∈ R differenzierbare Funktion und (Xn )n≥1 eine Folge von Zufallsvariablen, die in Wahrscheinlichkeit gegen a konvergiert. Zeigen Sie, dass dann gilt
f (Xn ) = f (a) + f 0 (a)(Xn − a) + (Xn − a)ηn ,
P
wobei (ηn )n≥1 eine Folge von Zufallsvariablen mit ηn → 0 darstellt.
Aufgabe 95. Sei (Xn )n∈N eine Folge von Zufallsvariablen (Ω, A, P).
1. Zeigen Sie, dass aus E(Xn − X)2 → 0 die stochastische Konvergenz von Xn gegen X folgt für n → ∞.
Weisen Sie nach, dass die Umkehrung der Implikation nicht gilt.
2. Zeigen Sie, dass wenn Xn P-f.s. gegen X konvergiert für n → ∞, dann folgt daraus auch die stochastische Konvergenz von Xn gegen X.
Weisen Sie nach, dass die Umkehrung der Implikation nicht gilt.
Aufgabe 96. Die Zufallsvariablen (Xi )i∈N sind unabhängig und es gilt P(Xi = z) = P(Xi = z1 ) = 0.5 für
√
ein festes z > 0 mit z 6= 1. Sei Yn := (X1 · . . . · Xn )1/ n . Bestimmen Sie limn→∞ EYn und limn→∞ VarYn .
Aufgabe 97 (4 Punkte). Eine Unfallversicherung hat 6000 Versicherte in ihrem Kollektiv. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Versicherten im Laufe des Jahres einen Unfall erleidet sei 1/1000. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mehr als einen Unfall hat, werde vernachlässigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass in einem Jahr mindestens drei Versicherungsfälle eintreten? Benutzen Sie die exakte Verteilung sowie
den Poissonschen Grenzwertsatz. Wie groß ist der Approximationsfehler maximal?
Aufgabe 98 (4 Punkte). Wie oft muss man eine faire Münze werfen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von
95% die Häufigkeit von “Kopf” um höchstens 0.1 von 0.5 abweicht? Schätzen Sie diese Wahrscheinlichkeit
mit (a) der Tschebyscheff-Ungleichung; (b) dem Satz von de Moivre–Laplace ab.
Aufgabe 99 (4 Bonuspunkte). Wir betrachten eine Folge von n Würfen einer fairen Münze. Sei L = Ln die
maximale Anzahl an Würfen, bei denen am Stück “Kopf” geworfen wurde.
Zeigen Sie, dass EZ ∈ Θ(log n), d.h. es existieren Konstanten c1 , c2 > 0 und ein N ∈ N sodass für alle n ≥ N
gilt
c1 log(n) ≤ EL ≤ c2 log(n)
Hinweis: Sie können folgendermaßen vorgehen:
a) Zeigen Sie für a, b = 1, . . . , n
aP(L ≥ a) ≤ EL ≤ b − 1 + nP(L ≥ b)
b) Zeigen Sie, dass P (L ≥ b) ≤
n
.
2b
c) Wählen Sie b geschickt, um eine obere Schranke für EL zu finden.
n −1
d) Zeigen Sie P(L ≥ a) ≥ 1 − 1 − 21a a .
e) Wählen Sie a geschickt, um eine gute untere asymptotische Abschätzung zu finden.
Aufgabe 100 (4 Bonuspunkte). Um alle Geschenke für Weihnachten fertigzustellen, betreibt der Weihnachtsmann eine riesige magische Fabrik, welche das ganze Jahr läuft. Dabei kommt es jedoch ab und an
zu Fehlern. Nach den Erfahrungen der letzten tausend Jahre kommt es im Schnitt einmal in der Woche zu
einem Fehler und wir nehmen an, dass die Fehler unabhängig voneinander auftreten. Man kann zeigen, dass
in diesem Fall die Zeiten zwischen zwei aufeinanderfolgenden Fehlern bzw. die Zeit bis zum ersten Fehler
unabhängige exponentialverteilte Zufallsvariablen sind.
Bestimmen Sie die Verteilung der Anzahl der Fehler, welche in einem Jahr (52 Wochen) auftreten.
Hinweis: Sie können die Aufgabe 88 als bekannt voraussetzen.
Wir wünschen allen Studenten frohe Weihnachten
und ein erfolgreiches Jahr 2015!
Wir wünschen allen Studenten ein frohes Weihnachtsfest
Abgabe: 08.01.2015 in der Vorlesung
und
einen guten Rutsch ins Jahr 2017!
2
Abgabetermin: Die mit
gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und vor der Vorlesung am
Donnerstag oder spätestens bis freitags, 12:00 Uhr in Raum 3523, EAP 2 (Briefumschlag an der Tür)
abzugeben.
Bedingungen für die Teilnahme an der Klausur: 50% der Hausaufgaben und mindestens zweimaliges
Vorrechnen an der Tafel.
Klausurtermin: Donnerstag, 16.02.2017, 10-12 Uhr, SR 314, Carl-Zeiß-Straße 3
Nachklausurtermin: Montag, 20.03.2017, 10-12 Uhr, SR 221, Carl-Zeiß-Straße 3
Empfohlene Literatur:
• H.-O. Georgii, Stochastik, de Gruyter, 4. Auflage, 2009.
• U. Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 5., neubearbeitete und erweiterte Auflage, Vieweg, 2000.
• A. Shiryaev, Probability, Springer, 2. Auflage, 1996.
Die Übungsserien finden Sie unter:
http://www.stochastik.uni-jena.de/Mitarbeiter/Prof_+Dr_+I_+Pavlyukevich/Teaching.html