8.¨Ubung Einführung in die Stochastik

Universität zu Köln
WS 2015/16
Institut für Mathematik
Dozent: Prof. Dr. A. Drewitz
Abgabe: 7.1. & 8.1. vor den Übungen
8. Übung Einführung in die Stochastik
(Gesetze der großen Zahlen, zentraler Grenzwertsatz)
Hausaufgaben
1. Aufgabe
(4 Punkte)
Es sei (Xn )n≥2 eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit
P (Xn = n) =
1
n log n
und P (Xn = 0) = 1 −
1
.
n log n
Zeigen Sie, dass die Folge zwar dem schwachen, aber nicht dem starken Gesetz
der großen Zahlen genügt in dem Sinne, dass
n
1X
(Xi − EXi )
n i=2
zwar in Wahrscheinlichkeit gegen Null konvergiert, aber nicht fast sicher.
2. Aufgabe
(6 Punkte)
In einer Meeresfarm werden Muscheln zur Perlengewinnung gezüchtet. Allerdings bringt durchschnittlich nur jede fünfzigste Muschel eine Perle hervor.
(i) Wie viele Muscheln müssen mindestens geöffnet werden, um mit Wahrscheinlichkeit 0.95 oder mehr mindestens eine Perle zu erhalten? (2 Punkte)
(ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist unter 100 Muscheln keine Perle zu
finden? (2 Punkte)
(iii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 100 Muscheln mindestens zwei
Perlen enthalten? (2 Punkte)
Berechnen Sie die Ergebnisse jeweils exakt, mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes und mit Hilfe der Poissonapproximation der Binomialverteilung.
Hinweis: Für die Berechnung der Approximationen mit der Normalverteilung
wird eine Tabelle der Werte der Standardnormalverteilungsfunktion benötigt,
die man z.B. in dem Buch von Georgii findet.
3. Aufgabe
(0 Punkte)
Es seien s ≥ 0 und λ > 0. Beweisen Sie:

: s > λ,
1
X (λn)k 
−λn
lim e
= 1/2 : s = λ,
n→∞

k!

0≤k≤ns
0
: s < λ.
Anleitung: Ist (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger Poisson verteilter Zufallsvariablen mit Parameter λ, so gilt (begründen!)
P
n
1 X
n
i=1
X (λn)k
Xi ≤ s = e−nλ
.
k!
0≤k≤ns
Benutzen Sie für den Beweis der Behauptung den zentralen Grenzwertsatz.
Gesamtpunktzahl: 10
Anmerkung: Es sind nur die Aufgaben einzureichen, welche strikt positive
Punktzahlen haben. Sollten Sie für eine Aufgabe mehrere Blätter benötigen,
so sind diese zusammenzuheften. Bitte beschriften Sie Ihre Lösungen in der
ersten Zeile in der folgenden Reihenfolge: Gruppe, Name, Aufgabe.
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