Probeklausur Einf¨uhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
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Institut für Angewandte Mathematik
Prof. A. Bovier/ Dr. E. Petrou/ C. Geldhauser
WS 2012/13
Probeklausur Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Zeit: 120 Minuten
Wichtige Hinweise:(für die echte Klausur)
• Taschenrechner, Handys u.ä. sind nicht zugelassen!
• Dieses Deckblatt ist vollständig ausgefüllt zusammen mit den Lösungen sowie den Aufgaben abzugeben. Jedes abgegebene Blatt ist zudem mit Namen und Matrikelnummer zu versehen.
• Bitte beachten Sie, dass nur dann Punkte auch im Falle von Rechenfehlern vergeben werden können,
wenn aus Ihren Kommentaren zu den Rechnungen der Lösungsweg klar erkennbar sein sollte.
• Bitte den Studentenausweis und einen amtlichen Lichtbildausweis bereithalten!
1. Aufgabe
Klempner Robert betreut 40% aller Einwohner in einer kleinen Stadt, in welcher 30% der Einwohner
mit ihrem Klempner unzufrieden sind. 50% der in dieser Stadt wohnhaften Kunden von Robert sind mit
seiner Arbeit unzufrieden. Angenommen ein bestimmter Einwohner der Stadt ist mit seinem Klempner
unzufrieden. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Kunde von Robert ist?
Bemerkung: Um die volle Punktzahl zu erreichen, müssen Sie den Lösungsweg verständlich erklären!
2. Aufgabe
(a) Sei (Xn )n≥1 eine Folge von Zufallsvariablen und x ∈ R eine Konstante. Definieren Sie die fast sichere
Konvergenz von (Xn )n≥1 gegen x.
(b) Formulieren Sie die Aussage des starken Gesetzes der großen Zahlen.
3. Aufgabe Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen, wobei X ∼ Poi(λ) und Y ∼ Ber(p).
Definiere Z := X + Y . Berechnen Sie
(a) die charakteristischen Funktionen von X und Y ,
(b) die charakteristische Funktion von Z := X + Y ,
(c) das zweite Moment E(Z 2 ).
4. Aufgabe
Seien X1 , . . . , Xn unabhängige und exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter λ > 0 und
Zn := max Xi .
1≤i≤n
Zeigen Sie, dass die Folge
ln n
λ
in Verteilung gegen eine doppelexponentialverteilte Zufallsvariable Z konvergiert. Dabei ist die Verteilungsfunktion einer doppelexponentialverteilten Zufallsvariablen gegeben durch
Qn := Zn −
F (x) = exp(− exp(−λx)),
1
x ∈ R.
5. Aufgabe
√
Seien X1 , . . . , Xn i.i.d. Poisson Zufallsvariablen mit Parameter λ/ n. Sei Yn definiert durch
Pn
√
k=1 Xk − λ n
√
.
Yn :=
λn1/4
(a) Bestimmen Sie die charakteristische Funktion von Yn .
(b) Zeigen Sie, dass Yn in Verteilung gegen Y ∼ N (0, 1) konvergiert.
6. Aufgabe
Es sei X eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
FX (x) = P(X ≤ x) = (1 − (x + 1)e−x )1l{x≥0} .
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
Bemerkung: Jeder Beweisschritt ist zu begründen bzw. die benutzten Sätze sind anzugeben.
7. Aufgabe
Gegeben sei die Markovkette (Xn ) mit Zustandsraum I = {1, 2, 3} und Übergangs- matrix
0 21 12
P = 12 0 12
1
1
0
2
2
a) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen von (Xn ).
b) Berechnen Sie eine stationäre Verteilung p von (Xn ).
c) Zeigen Sie, dass (Xn ) höchstens eine stationäre Verteilung hat und dass für jede Anfangsverteilung
p0 die eindimensionalen Verteilungen von (Xn ) gegen p konvergieren.
Tipp für c): Konvergenzsatz für Markovketten.
2
