Ubungsblatt 4 - wiwi.uni

Fortgeschrittene Statistik
Prof. Dr. Bernd Wilfling
Dipl.-Volksw. Sarah Meyer
Wintersemester 2014/2015
Übungsblatt 4
1. Betrachten Sie den 2-dimensionalen Zufallsvektor X = (X, Y )0 . Dieser sei multivariat normalverteilt
µ= (µX , µY )0 sowie Kovari“
’ 2 mit Erwartungswertvektor
σX σXY
mit σY X = σXY = Cov(X, Y ). Es bezeichne
anzmatrix Σ =
σY X σY2
ρ = Corr(X, Y ) den Korrelationskoeffizienten zwischen X und Y . Zeigen Sie mit
Hilfe der Definition der multivariaten Normalverteilung, dass für die gemeinsame
Dichte von X und Y gilt:
š
1
1
p
exp −
fX,Y (x, y) =
2(1 − ρ2 )
2πσX σY 1 − ρ2
”
(x − µX )2 2ρ(x − µX )(y − µY ) (y − µY )2
×
−
+
2
σX
σX σY
σY2
•›
.
2. Betrachten Sie die gleiche Ausgangssituation wie in Aufgabe 1. Beweisen Sie die
folgende Aussage:
“X und Y sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn ρ(X, Y ) = 0 gilt.”
3. Betrachten Sie die gleiche Ausgangssituation wie in Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass
für die bedingten Verteilungen von X und Y gilt
X|Y = y ∼ N
Y |X = x ∼ N
’
“
σX
2
2
µX + ρ (y − µY ), σX (1 − ρ ) ,
σY
’
“
σY
2
2
µY + ρ (x − µX ), σY (1 − ρ ) .
σX
4. Es seien X1 , X2 , X3 unkorrelierte Zufallsvariablen mit identischer Varianz σ 2 .
Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten von X1 + X2 und X2 + X3 .
5. Es seien X1 , X2 unkorrelierte Zufallsvariablen mit Varianzen σi2 , i = 1, 2. Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten von X1 + X2 und X2 − X1 .
1
6. Gegeben seien die stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen X1 und X2 mit der Dichtefunktion
š
1, für x ∈ [0, 1]
für i = 1, 2.
fXi (x) =
0, sonst
Bestimmen Sie die Dichtefunktion von Y = X1 + X2 .
7. Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit Dichtefunktion fX (x) und Verteilungsfunktion FX (x). Betrachten Sie die Funktion g(x) = exp(a · x + b). Ermitteln Sie
die Verteilungsfunktion und die Dichte von Y = g(X).
8. Es seien X1 , ..., Xn stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit Xi ∼ N (µi , σi2 ).
Des Weiteren seien a1 , ..., an ∈ R konstante Zahlen. Bestimmen Sie die Verteilung
P
der gewichteten Summe Y = ni=1 ai Xi .
9. Es sei X1 , . . . , Xn eine einfache Stichprobe aus einer unbekannten Verteilung mit
P
µ und σ 2 < ∞. Ferner seien a1 , . . . , an ∈ R Zahlen mit ni=1 ai = 1.
(a) Zeigen Sie, dass
µ ist.
Pn
i=1
ai Xi ein unverzerrter Schätzer für den Erwartungswert
(b) Zeigen Sie für den Fall n = 2, dass a1 = a2 = 0.5 die Varianz des Schätzers
minimiert.
2