“Stochastische Prozesse” ¨Ubungsblatt 1 Aufgabe 1 Seien X und Y

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Sommersemester 2011
“Stochastische Prozesse”
Übungsblatt 1
[Besprechung am 15. April]
Aufgabe 1
Seien X und Y zwei Zufallsvariablen auf Ω,
X : (Ω, A) −→ (M, A) , Y : (Ω, A) −→ (N, B) .
(a) Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Bedingungen.
(i) X, Y sind stochastisch unabhängig.
(ii) PX| Y =y = PX ∀ y ∈ N ist eine bedingte Verteilung von X unter Y .
(b) Seien (PX| Y =y )y∈N eine bedingte Verteilung von X unter Y und
h : (M, A) −→ (R, B 1 ) eine PX -integrierbare Funktion, und sei h ≥ 0.
Wir definieren eine Funktion ψ : N −→ R ∪ {∞} durch
Z
ψ(y) :=
h(x) dPX| Y =y (x) ∀ y ∈ N .
M
Y
Zeigen Sie: ψ ist P -integrierbar und ψ ◦ Y = E(h ◦ X | Y ) P-f.s.
(c) Seien (M, A) = (R, B 1 ) und (N, B) = (Rd , B d ) , und die gemeinsame Verteilung
von X, Y sei eine nicht-singuläre (d + 1) -dim. Normalverteilung. Finden Sie Formeln
für die bedingten Erwartungen E(X | Y ) und E(X 2 | Y ) .
Aufgabe 2
(a) Seien X1 , X2 stochastisch unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen,
Xi ∼ Poi(λi ) , i = 1, 2. Zeigen Sie:
PX1 | X1 +X2 =n = Bi(n ,
λ1
)
λ1 +λ2
∀ n ∈ N0
(für n = 0 sei Bi(0, . . .) die Dirac-Verteilung in 0)
ist eine bedingte Verteilung von X1 unter X1 + X2 .
(b) Seien X1 , X2 stochastisch unabhängige und identisch exponential-verteilte Zufallsvariablen, Xi ∼ Exp(λ) , i = 1, 2. Zeigen Sie:
PX1 | X1 +X2 =y = R(0 , y) ∀ y > 0
ist eine bedingte Verteilung von X1 unter X1 + X2 .
Aufgabe 3
Seien k ∈ N und U0 , R1 , . . . , Rk , S1 , . . . , Sk stochastisch unabhängige reelle normalverteilte Zufallsvariablen, wobei
U0 ∼ N(β0 , σ02 ) , Rj ∼ N(0, σj2 ) und Sj ∼ N(0, σj2 ) (1 ≤ j ≤ k) ,
mit β0 ∈ R, σ0 , σ1 , . . . , σk > 0 .
Seien noch positive reelle Zahlen λ1 , . . . λk gegeben. Wir definieren den Prozess
k
X
Xt := U0 +
( Rj cos(λj t) + Sj sin(λj t) ) , t ∈ R .
j=1
(a) Berechnen Sie die Mittelwert-Funktion m(t) = E(Xt ) , (t ∈ R) , und die Kovarianzfunktion K(s, t) = Cov(Xs , Xt ) , (s, t ∈ R) , des Prozesses.
(b) Zeigen Sie, dass (Xt )t∈R ein stationärer Gauß-Prozess ist.