Wiederholung 1 - Ruhr

Wiederholung 1: Wahrscheinlichkeitstheorie
Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 1:
1. Es seien A und B unabhängige Ereignisse. Zeige, dass auch A und B c , sowie Ac und B c unabhängig
sind. Hinweis: Für beliebige Ereignisse A und B gilt P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B)
2. Es sei Ω = {1, . . . , 8} und P sei die Laplace-Wahrscheinlichkeit auf Ω. Finde Ereignisse A1 , A2 und
A3 , sodass Ai und Aj für i 6= j stochastisch unabhängig sind, aber A1 , A2 und A3 abhängig sind.
Aufgabe 2:
In einer Urne befinden sich R rote und W weiße Kugeln. Wir ziehen eine Kugel und legen diese, zusammen
mit einer weiteren Kugel derselben Farbe, wieder zurück. Dann ziehen wir ein zweites Mal. Berechne für
die Ereignisse
A:“die 1. gezogene Kugel ist weiß“
B:“die zweite gezogene Kugel ist weiß“
die Wahrscheinlichkeiten P (A), P (B|A), P (B), sowie P (A|B).
Aufgabe 3:
Es seien A und B Ereignisse mit 0 < P (B) < 1. Beweise oder widerlege
1. P (A|B) + P (A|B c ) = 1
2. P (A|B) + P (Ac |B) = 1
Urnenmodelle
Aufgabe 4:
Der Besitzer einer Losbude hat seine Lose auf zwei Eimer aufgeteilt. In einem Eimer befinden sich 150
Lose, davon 3 Hauptgewinne, in dem anderen Eimer sind 200 Lose, davon 1 Hauptgewinn. Wenn ein
Kunde ein Los Kaufen möchte, wählt der Losbudenbesitzer zufällig einen der beiden Eimer, aus dem der
Kunde dann sein(e) Los(e) ziehen kann.
1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Ziehen einen Hauptgewinn zu erhalten.
2. Wäre die Chance auf einen Hauptgewinn für den Kunden höher, wenn der Losbudenbesitzer alle
Lose zusammen in einen Eimer füllen würde?
Aufgabe 5:
Eine Urne enthält 8 Kugeln mit den Nummern 1, . . . , 8. Wir ziehen daraus vier Mal ohne Zurücklegen.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur Kugeln mit geraden Nummern gezogen werden?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die größte gezogene Nummer die 6 ist?
Verteilungen von Zufallsvariablen
Aufgabe 6:
Es seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit Werten auf {1, 2, 3, 4} . Weiter gelte P (Y = i) =
für i = 1, . . . , 4, sowie P (X = 1) = P (X = 2) = 18 , P (X = 3) = 12 und P (X = 4) = 14 . Berechne
1
4
1. P (X + Y = 3)
2. P (X < Y )
3. P (max {X, Y } ≤ 3)
4. P (X = 1|X + Y = 3)
Erwartungswert und Varianz
Aufgabe 7:
1. Zeige, dass E : L1 → IR, X 7→ E[X] eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen
L1 = {X : Ω → IR diskret |E[|X|] < ∞}
und IR ist.
2. Zeige: V(X) = E[X 2 ] − (E[X])2 .
Aufgabe 8:
1. Es seien X und Y diskrete, stochastisch unabhängige Zufallsvariablen. Zeige, dass dann gilt E[XY ] =
E[X]E[Y ].
Pn
2. P
Es seien X1 , . . . , Xn diskrete, stochastisch unabhängige Zufallsvariablen. Zeige, dass gilt V( i=1 Xi ) =
n
i=1 V(Xi ).
Kenngrößen von diskreten Verteilungen
Aufgabe 9:
Sei X poissonverteilt mit Parameter λ > 0. Bestimme E[X] und E[X(X − 1)].
Aufgabe 10:
Sei X binomialverteilt mit Parametern n und p.
1. Berechne die erzeugende Funktion von X.
2. Bestimme mit Hilfe der erzeugenden Funktion den Erwartungswert E[X].
3. Bestimme ein n0 = n0 (p) so, dass
1
1
1
≤
P | Xn − p| >
n
10
10
für alle n ≥ n0 .
Aufgabe 11:
Für n ∈ IN sei Xn gleichverteilt auf der Menge {1, . . . , n}.
1. Bestimme n0 so, dass E[Xn0 ] = 6.
2. Bestimme V(Xn0 ).