¨Ubungen zur Vorlesung “Stochastische Prozesse” Blatt 1 Aufgabe 1

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Sommersemester 2008
Übungen zur Vorlesung “Stochastische Prozesse”
Blatt 1
Aufgabe 1
Sei (Xt )t∈[0,∞) ein Wiener-Prozess. Für ein gegebenes t0 > 0 betrachten wir den (neuen)
Prozess
Yt := Xt0 +t − Xt0 ∀ t ∈ [ 0 , ∞) .
Zeigen Sie, dass (Yt )t∈[0,∞) wiederum ein Wiener-Prozess ist.
Aufgabe 2
Ist ein Wiener-Prozess ein stationärer Prozess ?
Ist ein homogener Poisson-Zählprozess ein stationärer Prozess ?
Aufgabe 3
Sei (Xt )t∈[0,T ] ein Gauß-Prozess mit Erwartungswert-Funktion m(t) , (t ∈ [ 0 , T ]) , und
Kovarianzfunktion K(s, t) , (s, t ∈ [ 0 , T ]) , und der Prozess besitze stetige Pfade.
Schlagen Sie eine Methode zur (approximativen) Simulation eines Pfades des Prozesses vor, (Sie können davon ausgehen, dass eine Routine zur Simulation von Werten
u.i.v. standard-normalverteilter Zufallsvariablen vorhanden ist).
Welche Methode schlagen Sie speziell für einen Wiener-Prozess (eingeschränkt auf das
Intervall [ 0 , T ] ) vor ?
Aufgabe 4
Seien k ∈ N und U0 , R1 , . . . , Rk , S1 , . . . , Sk stochastisch unabhängige reelle normalverteilte Zufallsvariablen, wobei
P U0 = N(µ, σ02 ) und P Rj = P Sj = N(0, σj2 ) (1 ≤ j ≤ k) ,
mit µ ∈ R, σ02 , σ12 , . . . , σk2 > 0 .
Seien noch positive reelle Zahlen λ1 , . . . λk gegeben. Wir definieren den Prozess
k
X
Xt := U0 +
( Rj cos(λj t) + Sj sin(λj t) ) ,
t ∈ R.
j=1
(a) Berechnen Sie die Erwartungswert-Funktion m(t) = E(Xt ) , (t ∈ R) , und die
Kovarianzfunktion K(s, t) = Cov(Xs , Xt ) , (s, t ∈ R) , des Prozesses.
(b) Zeigen Sie, dass (Xt )t∈R ein stationärer Gauß-Prozess ist.