¨Ubungen zur Vorlesung “Stochastische Prozesse” Blatt 1 Aufgabe 1

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Sommersemester 2014
Übungen zur Vorlesung “Stochastische Prozesse”
Blatt 1
(Besprechung am 14.04.)
Aufgabe 1
Sei (Xt )t∈[0,∞) ein Wiener Prozess. Für ein gegebenes t0 > 0 betrachten wir den (neuen)
Prozess
Yt := Xt0 +t − Xt0 ∀ t ∈ [ 0 , ∞) .
Zeigen Sie, dass (Yt )t∈[0,∞) wiederum ein Wiener-Prozess ist.
Aufgabe 2
Sei (Nt )t∈[0,∞) ein homogener Poisson-Zählprozess. Berechnen Sie die Mittelwertfunktion
m und die Kovarianzfunktion K,
m(t) = E(Nt ) ∀ t ∈ [ 0 , ∞) ,
K(s, t) = Cov(Ns , Nt ) ∀ s, t ∈ [ 0 , ∞) .
Aufgabe 3
Sei (Xt )t∈T ein Gauß-Prozess mit T ∈ { N0 , Z , [ 0 , ∞) , R } .
Zeigen Sie: Der Prozess (Xt )t∈T ist genau dann stationär, wenn seine Mittelwertfunktion
konstant ist und seine Kovarianzfunktion von der Form ist:
K(s, t) = h( |t − s| ) ,
(s, t) ∈ T 2 ,
mit einer Funktion h : T+ := T ∩ [ 0 , ∞) −→ R .
Aufgabe 4
Seien k ∈ N und U0 , R1 , . . . , Rk , S1 , . . . , Sk stochastisch unabhängige reelle normalverteilte Zufallsvariablen, wobei
U0 ∼ N(β0 , σ02 ) ,
Rj ∼ N(0, σj2 ) und Sj ∼ N(0, σj2 )
(1 ≤ j ≤ k) ,
mit β0 ∈ R, σ0 , σ1 , . . . , σk > 0 .
Seien noch positive reelle Zahlen λ1 , . . . λk gegeben. Wir definieren den Prozess
k
∑
Xt := U0 +
( Rj cos(λj t) + Sj sin(λj t) ) , t ∈ R .
j=1
(a) Berechnen Sie die Mittelwert-Funktion m(t) = E(Xt ) , (t ∈ R) , und die Kovarianzfunktion K(s, t) = Cov(Xs , Xt ) , (s, t ∈ R) .
(b) Zeigen Sie, dass (Xt )t∈R ein stationärer Gauß-Prozess ist.