Korrelationskoeffizient, Erwartungswert, Varianz

Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
WiSe 2012/2013 und SoSe 2013
Aufgabe 22 (Korrelationskoeffizient, Erwartungswert, Varianz)
Seien X und Y reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit existierenden Erwartungswerten, positiven Varianzen und Kovarianzen.
Zeigen Sie dann für die Kovarianz (mittels der Formel)
Cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y )
und den Korrelationskoeffizienten
ρ(X, Y ) :=
Cov(X, Y )
σ(X) · σ(Y )
die folgenden Aussagen:
1. Cov(aX + b, Y ) = a Cov(X, Y )
2. Cov(X, X) = σ 2 (X)
3. Ist Y = aX + b mit a 6= 0, so folgt |ρ(X, Y )| = 1.
Anmerkung: Man kann zeigen, dass stets |ρ(X, Y )| ≤ 1 gilt; für unabhängige
X und Y ist ρ(X, Y ) = 0.
Mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt auch die Umkehrung von (3) für geeignete a, b.
Damit ist ρ(X, Y ) ein Maß für die lineare Abhängigkeit von X und Y . Man
beachte aber, dass ein solcher Zusammenhang dann nur formal besteht, aber
nicht ursächlich sein muss. (→ Unsinnskorrelation/Scheinkorrelation).
Lösungsskizze
1. Cov(aX + b, Y ) = E((aX + b) · Y ) − E(aX + b) · E(Y )
= E(aXY + bY ) − E(aX + b) · E(Y )
Elinear
= aE(XY ) + bE(Y ) − (aE(X) + b)E(Y )
= aE(XY ) − aE(X)E(Y )
= a Cov(X, Y ).
2. Cov(X, X) = E(X 2 ) − E(X)2 = σ 2 (X) (laut Verschiebungssatz)
3.
Cov(aX + b, X)
Cov(X, aX + b)
√
=
σ(X) σ(aX + b)
σ(X) a2 σ(X)
2
a
(1) a Cov(X, X) (2) a σ (X)
=
=
=
|a|σ 2 (X)
|a|σ 2 (X)
|a|
= signum(a)
ρ(X, aX + b) =