1. Testbeispiel: Gegeben seien zwei reelle Zahlen λ > 0, α > 0, und

1. Testbeispiel: Gegeben seien zwei reelle Zahlen λ > 0, α > 0, und eine iid Folge (Xk )k≥1
von Zufallsvariablen mit Gammaverteilung und E[Xk ] = α/λ, Var[Xk ] = α/λ2 . Weiters sei
(Sn )n≥0 die entsprechende Partialsummenfolge, und (Fn )n≥0 die von S erzeugte Filtration,
also Fn = σ(S0 , . . . , Sn ) für n ≥ 0.
(a) Berechnen Sie E[Sn2 ].
(b) Berechnen Sie E[Sn2 |Fn−1 ].
(c) Für welche Zahlen γ ∈ R ist (S̄n )n≥0 mit S̄n = Sn − γn ein Martingal, ein Submartingal, ein Supermartingal, oder nichts davon?
(d) Finden Sie einen möglichst einfachen Ausdruck für den vorhersehbaren Anteil An in
der Doob-Zerlegung Sn2 = Mn + An .
(e) Sei (J(t), t ≥ 0) ein standard Poissonprozeß mit Intensität λ > 0. Berechnen Sie
E[J(t)] und Cov[J(s), J(t)] für 0 ≤ s ≤ t.
2. Testbeispiel:
(a) Es sei (Z(t) : t ≥ 0) eine standard Brownsche Bewegung. Berechnen Sie E[Z(2)|Z(1)]
und E[Z(2)2 |Z(1)].
(b) Berechnen Sie das gemischte Moment µ12 (1, 2) = E[Z(1)Z(2)2 ].
(c) Sei (Y (t), t ∈ R) ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit Parameter β > 0, also ein
Gaußscher Prozeß mit stetigen Trajektorien, sowie E[Y (t)] = 0 und Cov(Y (s), Y(t)) =
t
e−β(t−s) für −∞ < s ≤ t < +∞. Weiters sei W (0) = 0 und W (t) = √1t Y log
2β
für t > 0. Begründen Sie kurz, warum die endlichdimensionalen Verteilungen von
(W (t), 0 ≤ t ≤ 1) multivariate Normalverteilungen sind.
(d) Berechnen Sie die Mittelwert- und Kovarianz-Funktion m(t) = E[W (t)] und Γ(s, t) =
Cov[W (s), W (t)] für 0 ≤ s ≤ t < ∞.
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