Statistik 1-2
Werbung
Statistische Formelsammlung
Statistik 1 und 2
Auf Basis des Vorlesungsskripts von M. Stöcklin WS / SS 2003/2004;
Bortz (2005) 6. Auflage, Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler;
Hirsig (2004). Statistische Methoden in den Sozialwissenschaften, Bd. I, II.
Alle Angaben ohne Gewähr
© Marion Huber
Inhaltsverzeichnis
Entscheidungsbaum
Skalenniveau
Quartile
Normalverteilung
Standardnormalverteilung (SNV)
z-Transformation
Standardabweichung
One sample t- Test (z- Test)
Einseitige Hypothese
Sp Pop
(z-Transformation)
One sample t-Test (z-Test)
Zweiseitige Hypothese
Sp Pop
Abschätzen des Stichproben-Umfangs
Effektstärke
Konfidenz-intervall (KI)
t – Test für unabhängige Stichproben
Sp Sp
Gleicher SP-Umfang (N)
Ungleicher SP-Umfang (N)
Interpolation für tk
Stichproben-umfang
Effektstärke
Power
Interpolation für n
t-Test für abhängige SPn
Abschätzen des Stichprobenumfangs für abhängige SPn
Effektstärke
Interpolation
Power
Abschätzen der Teststärke (Power)
Zusammenhangs-masse bei intervallskalierten Daten Regression
Regressionskoeffizient b
Inferenzstatistische Aussagen
Standardschätzfehler des Regressionskoeffizienten
Vergleich eines Regressionskoeffizienten mit einem vorgegebenen Wert β
2
3
3
4
4
5
6
7
7
7
7
8
8
8
9
9
10
12
12
12
12
12
13
13
13
13
14
15
15
15
15
16
17
17
19
19
19
Konfidenzintervall
Korrelation r
Das Bestimmtheits-mass r²
Der Korrelationskoefizient r nach Pearson
Signifikanztest
für r
Bedeutsamkeit eines Zusammenhangs r≠ 0
Poweranalyse für r
Interpolation für n
Fisher`s Z-Transformation
Konfidenzintervall (KI)
Drei Schritte der Berechnung des KI mit dem Taschenrechner
Vergleich Korrelationskoeffizient Konstante
Vgl. zweier Korrelationskoeffizienten
Binomialtest
U –Test von Mann –Whitney
für unabhängige SPn
Wilcoxon T-Test
für abhängige SPn
Korrelationen für ordinalskalierte Daten
unabhänge Stichproben Pearsonkorrelation
abhängige Stichproben Spearman´sche Rangkorrelation
Kendalls τ
χ² - Goodness of Fit
SP POP
Vierfelder χ2 – Test
Unabhängiger Stichproben
Sp Sp
Mc Nemar
χ² - Test für abhängige SPs
Zusammenhangsmasse für Vierfelder χ² -Test
k x l - χ² Test
Stärke eines Zusammenhangs:
Kontingenzkoeffizient C
Poweranalyse für nominalskalierte Daten
20
21
21
21
22
22
22
23
23
23
24
24
26
26
27
28
28
29
29
31
31
31
32
33
33
34
34
34
35
35
36
37
38
38
39
Entscheidungsbaum
N > 25
z – Test
N < 25
One Sample t- Test einseitig
zweiseitig
SP POP
intervallskaliert
normalverteilt
SP ↔ SP
intervallskaliert
Nicht
normalverteilt
Gepaart/ abhängig
t – Test für abhängige SPn
Ungepaart/
unabhängig
t – Test unabhängige SPn
gepaart
Wilcoxon Test
ungepaart
Mann Whitney – U – Test
Regression
Korrelationskoeffizient nach Pearson
Bestimmteheitsmass
Spearman`sche Rangkorrelation ,
Kendall`sτ
Ordinalskalierte
Daten
gepaart
ungepaart
Nominalskalierte
Daten
gepaart
ungepaart
Wilcoxon Test
Mann Whitney U-Test
Mc Nemar
Zwei
Ausprägungen
Viele
Ausprägungen
χ²- Test (32);
Φ -Phi (für 2 x 2 Tabellen)
Vierfelder χ² ,
Binomial
K x l -χ²;
χ² - Test
Kontingenzkoeffizient C
Kramer`S V
2
Skalenniveau
empirische Relevanz und sinnvolle Kennwerte:
emp.Relevanz
Nominal
keine
Ordinal
Ordnung der Zahlen
Intervall
Differenz der Zahlen
Verhältnis
Quartile
Differenz der Zahlen und
deren Verhältnis zueinander
1., 2., 3.-Quartil
Sie geben an, dass ein
bestimmter Prozentsatz aller
Werte unter dem entsprechenden
Quartilwert (QW) liegt.
1. Quartil gibt an, dass 25% aller
Werte unter dem entsprechenden
Wert liegen; es entspricht dem
25.Perzentil, das 3.Q. 75% aller
Werte liegen darunter
(75.Perzentil). Das 2.Q entspricht
dem Median ↑
sinnvolle Kennwerte
Modal
Median
Mittelwert, Standardabweichung, Varianz,
Transformationen, Modus, Modal
Mittelwert, Standardabweichung,Varianz,
Transformationen, Modus, Modal
1.QW =
xi ' 0.5 +
1 &n
#
( $ ' Fi '1 !
fi % 4
"
2.QW =
xi ' 0.5 +
1 &n
#
( $ ' Fi '1 ! =Me
fi % 2
"
3.QW =
xi ' 0.5 +
1 & 3( n
#
($
' Fi '1 !
fi % 4
"
F : kummulierte Häufigkeit
Bsp:
Das Befinden von Schülern auf einer Skala von 1-7
abgetragen.
Skalenwert Häufigkeiten kumulierte
xi
fi
Häufigkeit.
Fi
1
2
2
2
8
10
3
26
36
4
60
96
5
99
195
6
50
245
7
16
261
Der Median befindet sich bei N/2 130.5
(bei den kumulierten Häufigkeiten nachschauen!!!!
Dieser Wert liegt oberhalb des 4.Skalenwertes, also bei
5.
xi = 5 ; fi = 99 ; Fi-1 = 96 ; n/2 = 130.5
in Formel für Median einsetzen.
3
Normalverteilung
(NV)
Standardnormalverteilung (SNV)
NOTES
Mathematische
Eigenschaften der
Dichtefunktion (NV):
Glockenförmig
Symmetrisch zu µ
Kurve nähert sich
asymptotisch der x – Achse
zwischen µ-σ und µ+σ
liegen 2/3 aller Messwerte
(68%)
Verteilungsform hängt von
den Parametern σ und µ ab
es gibt unendlich viele
Normalverteilungen
Rein rechnerisch ist es
einfacher, wenn man nur
eine NV hat. Dies erreicht
man, indem man einen
neuen Maßstab für die
Messwerte wählt. Man
transformiert:
µ wird 0 und σ wird 1.
Somit gelangt man zur
Standardnormalverteilung
Bedeutsamkeit der NV:
NV als empirische
Verteilung
NV als Verteilungsmodell
statistischer Kennwerte
NV als mathematische
Basisverteilung
NV als statistische
Fehlertheorie
Es werden Dir immer wieder ...diese Striche begegnen. Sie umschliessen Formeln oder numerische Ausdrücke.
Man nennt sie Betragsstriche. Ihre Funktion: Der Wert , der zwischen ihnen steht wird immer positiv gerechent oder
dargestellt, auch wenn er eigentlich negativ wäre. Bsp.: 5-7 = -2 = 2.
4
z-Transformation
Genaue Berechnung der
Standardabweichung
Seite 5
Verteilungen, die sich aus
x "µ
z= i
Messungen ergeben,
#x
normalverteilt und
intervallskaliert sind, können
2
!xi2 " (!xi ) n
so transformiert werden,
#x =
n
dass sie mit anderen
2
Normalverteilungen
"xi2 ! ("xi ) n
ˆ
!
#
=
vergleichbar werden und
x
n !1
descriptive Werte berechnet
bei Mittelwertsverteilungen
werden können.
mit dem Standardfehler
rechnen:
z=
TIP: Wenn im Text n gegeben, ist
davon aus zu gehen, dass mit
dem Standardfehler gerechnet
werden muss!!
xi " µ
!x
n
!x =
!x
n
Typische Fragestellungen für z-transformierte
Berechnungen:
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein in einer
Zufallsstichprobe ein Proband einen IQ > 120 aufweist?
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert einer
Sp grösser (>) ist als der Populationsmittelwert.
Unter welchem IQ liegen 5% aller IQ- Werte einer
Zufallsstichprobe?
Das xx – te Perzentil einer Messwertverteilung
↓
Wahrscheinlichkeit einen grösseren / kleineren Wert zu
finden, als das vorgegebene oder errechnete.
Hier als Beispiel:
120 -100
—————— = 1.33
15
in Tabelle unter obiger Graphik den Wert
suchen und den entsprechende Prozentwert ermitteln
Berechnung eines Perzentils:
Hier haben wir die Fläche unter der Kurve gegeben (Prozent)
und müssen nun den durch 100 dividierten Wert dessen in
der Tabelle suchen gehen und den entsprechenden z-Wert
ermitteln.
5
Standardabweichung
!
$( x
i
# x)
2
nicht für
n
Taschenrechner !!!
nach dem Binominalsatz
gilt:
(a-b)² = a² - 2ab + b²
zunäst wird für den
Mittelwert
"x =
x=
! xi eingesetzt, dann
n
ergibt sich mit obiger
Formel mit dem
Binominalsatz ungeformt
die Taschenrechnerformel:
"x =
!
$ x # ($ x )
2
i
i
2
Bsp.:
Wir überprüfen von 9 Probanden die Reaktionszeit in einem
Wiedererkennungstest
VP
t(sek)
Achtung:
Ihr müsst eine zusätzliche
Spalte mit xi² machen und
genau schauen, wo was
eingesetzt wird!!!!!
2
3
4
5
6
7
8
9
Σ
0.2
0.3
0.1
0.4
0.7
0.3
0.2
0.4
0.8
Σxi=3.4
0.04
0.09
0.01
0.16
0.49
0.09
0.04
0.16
0.64
Σ xi²=1.72
Xi
Xi²
2
#=
! xi2 " (! xi ) / n
n
Σxi = 3.4 (Σxi )² = (3.4)² = 11.56
Σxi² = 1.72
/n
n
=
1
σ=
1.72 " (3.4)! 2 / 9
=0.219
9
!
NOTES
Varianz:
Rein rechnerisch gesehen ist die Varianz das Quadrat der Standardabweichung. Da durch das Quadrieren
auch kleine Unterschiede zu Tage kommen, ergibt sich ein genaueres Ergebnis, was dazu führt, dass die
Varianz eher den Populationswert abbildet als eine Standardabweichung.
" x2
$( x
=
i # x)
n
2
nicht für Taschenerchner zu gebrauchen, da rechnet ihr mit der obigen Formel, einfach ohne Wurzel.
!
6
One sample t- Test
(z- Test)
Einseitige Hypothese
Intervallskalierte Daten
Sp Pop
Sp Pop
(z-Transformation)
Sechs-Punkte-Schema:
Auf alle Tests anwendbar!!!
Hypothesen aufstellen
Signifikanzniveau (α)
festlegen
Ablehnungsbereich
festlegen dem α
entsprechenden z-Wert in
Tabelle ablesen.
Prüfgrösse errechnen
Prüfgrösse mit dem
kritischen Wert (z-Wert von
α) vergleichen.
Schlussfolgerung
wenn σ (Populationswert)
nicht bekannt und
n <25 dann
mit t- Verteilung rechnen!
Beispiel:
Vergleich von Lesezeiten einer
SP mit POP
Lesezeiten der SP sind kürzer als
die des Durchschnitts.
Gegeben:
_
x = 80
µ = 90
σ = 30
n = 20
es handelt sich um eine
Mittelwertsverteilung!!!!
es muss mit dem
Standartfehler gerechnet
werden!!!
Tipp:
sobald es um Mittelwerte geht
und N gegeben ist kann man
davon ausgehen, dass mit
Standartfehler gerechnet werden
muss, und nicht mit
Standartabweichung!!!!!!!!!!!
Signifikanz:
zp ≥ z k
(hier wird das entsprechende
Vorzeichen vor zk gesetzt!!!!!!)
| tp | ≥ tk mit df = n-1
H 0: x > µ H 1 : x < µ
SP hat kürzere Lesezeiten als POP
α = 0.05
kritischer Wert aus Tabelle suchen: zk = -1.65
In Tabelle unter α=0.05 einseitig nachschauen!!!
z
Prüfgrösse berechnen:
für
n < 25 t- Verteilung;
n > 25 z (hier wird der zentrale Grenzwertsatz gültig:
ab ca.25 Vpn geht jede Verteilung in eine
Normalverteilung über)
Für Messwertverteilungen gilt:
z (t ) =
xi " µ
!x
wenn eine Mittelwertsverteilung vorliegt mit Standartfehler
im Nenner rechnen !!!
(Im Text darauf achten, ob SP-Umfang gegeben ist, dann in
der Regel Standadtfehler nehmen!)
z (t ) =
x"µ
!x
mit
!x =
!x
n
( n einer Stichprobe)
80 - 90
zp = ————
30 / √20
zp = - 1.49
zp > zk H0 wird abgelehnt.
Die in der Stichprobe ermittelte kürzere Lesezeit stellt
einen signifikanten Unterschied dar.
7
Zweiseitige Hypothese
Sp Pop
Intervallskalierte Daten
Sp Pop
One sample t-Test (zTest)
Hypothesen aufstellen
Signifikanzniveau (α)
festlegen
Ablehnungsbereich
festlegen dem α
entsprechenden z-Wert in
Tabelle ablesen.
Prüfgrösse errechnen
Prüfgrösse mit dem
kritischen Wert (z-Wert von
α vergleichen
Schlussfolgerung
Beispiel:
Vergleich von Lesezeitenmittelwerten einer Stichprobe mit
den Populationsmittelwerten.
Gegeben:
_
X = 80
µ = 90
σ = 30
n = 20
auch hier handelt es sich um eine
Mittelwertsverteilung
mit Standartfehler rechnen!!!
1. H0 : X = µ
H1 : X ≠ µ
α = o.o5 (5%)
Ablehnungsbereich festlegen
(hier wieder den z-Wert für α/2 (weil zweiseitig) aus der
Tabelle ablesen)
zk = ± 1.96 zp > ZK;
Prüfgrösse berechnen:
Signifikanz
zp ≥ zk(α/2)!!!!
|tp| ≥ tk mit df =n-1
zp = 80 - 90
= - 1.49
30 / √20
Prüfgrösse mit Ablehnungsbereich vergleichen.
Da tp(z) = -1.49 > t(z)k(α/2) = -1.96 wird H0
zugunsten H1 verworfen.
Das heisst, dass der Unterschied der Lesezeitenmittelwerte
signifikant ist.
z=
µ1 < µ2 tp ≤ - tk
µ1 > µ2 tp ≥ tk
µ1 ≠ µ2 I tpI ≥ tk
Merke:
x"µ
!ˆ x
!ˆ x =
!
n
Bei Messwertverteilungen mit Standardabweichung rechnen!
x "µ
z= i
!
2
mit
#x i2 $ ( #x i ) n
"ˆ x =
n $1
bei Mittelwertsverteilungen mit Standardfehler!!!!!!!!
!x =
!x
n
!
8
Abschätzen des
Stichproben-Umfangs
Abschätzen des
Stichprobenumfangs
Bei 50% iger Wahrscheinlichkeit
Signifikanz zu erreichen:
(1-β = 50%)
Merke:
Intervallskalierte Daten
In der Regel will man eine Power
von 0.80.
Dann gibt man sie vor und
berechnet zunächst die
Effektstärke!!
Effektstärke
wie viele
Standardabweichungen
beträgt ein Unterschied?
NOTES
Will man eine höhere
Wahrscheinlichkeit (Power),z.B.:
80% (entspricht einer guten
Power) oder will man allgemein
wissen wie viele n man braucht
um Signifikanz zu erreichen
Beispiel :
Vergleich von Lesezeitenmittelwerten einer Stichprobe mit
den Populationsmittelwerten.
Gegeben:
_
X = 80
µ = 90
σ = 30
Durch das Auflösen eines
Signifikanztests nach n erhalten
wir die Anzahl Versuchspersonen,
um mit 50-% iger
Wahrscheinlichkeit eine
Signifikanz zu erhalten
d=
| µ1 " µ 2 |
!
_
µ kann hier auch durch x ersetzt
werden. Es geht hier einfach um
Mittelwerte, entweder
Populationswerte oder
Stichprobenwerte
Für die Fragen:
Ab welchem Mittelwert ist ein Ergebnis signifikant?
Wer hat ein besseres Ergebnis zu erwarten?
z (t ) p =
x'µ
)
n
n einer SP!!!!
2
& ) ( z (t ) #
!!
n = $$
% x'µ "
2
(30 · 1.96 / 80 – 90 ) = 34.57
Mit 1- ß = 50% muss n > 35 Personen sein,
um mit 50% Wahrscheinlichkeit Signifikanz zu erreichen.
bei normalverteilten Messwertverteilungen:
Nomogramm
1-β (gibt man vor) in Abhängigkeit von α und n.
Die errechnete Effektstärke (d) suchen und schauen, bei
wieviel n man landet.
Bei Mittelwertsverteillungen in der
Tabelle:“Poweranalyse von Mittelwertsverteilungen mit
Hilfe des t-Tests“
x = µ + zk " ! x
( zk = z-Wert für α)
Diese Tabellenspalte: Cooligan Tab. 2 ist auch entscheidend, wenn man schauen möchte, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, ein
bestimmtes Ergebnis zu erhalten, das besser als ein anderes ist. Man schaut dann beide Wahrscheinlichkeiten nach und vergleicht diese direkt miteinander.
9
Intervallskalierte Daten
Konfidenzintervall (KI)
Gibt den Wertebereich an, in
dem mit vorgegebener
Wahrscheinlichkeit (meist
95%) der Populationswert zu
finden ist.
KI – Breite ist abhängig von n
und σ : je grösser n, desto
kleiner KI- Breite, je grösser
σ, desto grösser KI-Breite.
Ist quasi das Gegenstück zu
α.
t ( z) =
x"µ
!
wird umgeformt nach x
x( 2.5) = µ # t ( z ) ( 2.5) " !ˆ x (oder!ˆ x )
-2.5
97.5
↓
z-/t-Wert aus entsprechender
Tabelle raussuchen!!!
Die Grenzen müssen berechnet
werden!
Schlussendlich brauchen wir die
Werte auf der x-Achse, d.h. wir
suchen uns die z-Werte aus der
Tabelle für die Grenzen des KI.
Diese werden jeweils in unsere
schon bekannte Formel der zTransformation bzw. des OneSample-t-Tests eingesetzt.
Das gleiche gilt für den t-Test bei
Stichprobenvergleichen.
x(97.5) = µ + t ( z ) (97.5) " !ˆ x (oder!ˆ x )
CAVE:
t- / z-Werte für 2.5 und 97.5 sind die gleichen!!! !!!!!!!!
Man muss nur das eine mal addieren, das andere mal subtrahieren
10
Teststärke
Intervallskalierte
Daten
(Power)
(d.h. die
Wahrscheinlichkeit,
dass H0 richtigerweise
verworfen wurde)
für einseitige
Hypothese
Die Grenzen des
Ablehnungsbereiches festlegen
den kritischen Mittelwert
berechnen (d. h. den zu zk
gehörenden Mittelwert
berechnen)
Die Wahrscheinlichkeit für den
Mittelwert zk ≠ µ berechnen
Interpretation
Beispiel :
siehe oben
Ausser: Hs : µ1 = 75
z=
x " µ1
!
n
x = µ0 + zk "! x
! = !
x
NOTES:
n
Der Ablehnungsbereich endet bei zk = 1.65
Bestimmen von x zu diesem Ablehnungsbereich:
_
X = 90 – 1.65 x 30 / √20
_
x = 78.9
Die Wahrscheinlichkeit für x < 78.9 unter der Voraussetzung, dass
µ1 = 75
z = 76.84 - 75 = 0.58 Tabelle
30 / √ 20
1-ß = p (X< 78.9| Hs) = 72 %
Interpretation:
Die Wahrscheinlichkeit einen Unterschied zu finden beträgt 72%
p-Wert in SPSS - Output
Für das Signifikanzniveau wird p angegeben: dies entspricht α (in Prozent angegeben),
d. h. man muss diesen Wert in der Tabelle unter den Prozentwerten suchen und dann den entsprechenden
z-/t-Wert ablesen!!!
(wie man es sonst für den kritischen Wert auch macht).
P gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein noch extremeres Ergebnis zu finden, als das was man hat.
P muss kleiner als α sein!!!! Wenn nichts angegeben ist, so wird α auf 0.05 angesetzt.
11
SP ↔ SP
t – Test für
unabhängige
Stichproben
SP SP
Gleicher
SP-Umfang (N)
Ungleicher
SP-Umfang (N)
Interpolation für tk
Voraussetzungen:
SPn müssen unabhängig sein
Messwerte müssen
intervallskaliert sein
Messwerte sollten
normalverteilten
Grundgesamtheiten
entstammen
Populationsvarianzen sollen
ungefähr gleich gross sein
wenn verletzt: MannWhitney- U- Test
t=
x1 ! x2
"ˆ x1 ! x 2
Gleicher SP-Umfang (N):
!ˆ x1 " x 2 = !ˆ12 + !ˆ 22 n
n einer
Gruppe!!!Ungleicher
SP-Umfang (N)
Es ergeben sich nun für die
Berechnung leicht andere
Formeln:
)ˆ x1 ( x 2 =
)ˆ12 (n1 ( 1)+ )ˆ 22 (n2 ( 1) & 1 1 #
' $$ + !!
n1 + n2 ( 2
% n1 n2 "
Signifikanz:
µ1 ≠ µ2 I tpI ≥ tk ,
mit df = n1+n2 -2
Intervallskalierte Daten
µ1 < µ2 tp ≤ - tk
µ1 > µ2 tp ≥ tk
Allgemeines Beispiel:
Zwei Gruppen werden hinsichtlich eines Merkmals untersucht
Zwei Gruppen werden mit zwei verschiedenen Lernmethoden
unterrichtet.
Unterscheiden sich die Mittelwerte der Gruppen signifikant?
Gegeben:
µ1 = 33 µ2 =27.1
σ1 = 14.76
σ2 = 12.65
n = 10 (pro SP)
df= 18 (n – 2)
Hypothesen:
H0: µ 1 =µ2
H1: µ 1 ≠µ2
2. α = 0.05
3. Ablehnungsbereich festlegen
tk = 1.734, bei df = 18; tp ≥ tk für Signifikanz
Falls wir die Anzahl der df in der Tabelle nicht finden, kann man auch hier
interpolieren:
tk =
t unten ! t oben
! Abst.zu _ Grenze _ oben + t oben
10
Prüfgrösse berechnen:
33 -27
tp = ———————————
2
2
√ 14.76 + 12.65 / √ 10
tp = 0.96
tp = 0.96 und damit < tk
Die Lernmethoden weisen keinen signifikanten Unterschied auf.
Hat man jedoch sehr ungleiche SP-Umfänge, so liegt es nahe, dass die Kennwerte
unterschiedlich ins Gewicht fallen.
Das heisst für uns, dass wir die Kennwerte gewichten müssen:
Bei sehr verschiedenen Vpn – Umfängen muss man die Mittelwerte gewichten
x gew =
n1 x1 + n2 x 2
n1 + n2
12
Stichprobenumfang
Effektstärke
_
∧
Berechnen von D;
Effektstärke berechnen:
d=
D = x1 " x 2
Ungleicher SP-Umfang (N):
D = $ D / ND
d=
!
!ˆ D =
Intervallskalierte Daten
Interpolation für n
#ˆ 12 + #ˆ 22
2
x1 " x 2
#ˆ 12 ( n1 "1) + #ˆ 22 ( n 2 "1)
n1 + n 2 " 2
!ˆ12 + !ˆ 22 / 2
bei ungleichem n
"
Power
x1 " x 2
x " x2
d= 1
#ˆ x1 "x 2
mit:
bei gleichem n
!
Effektstärke:
Gleicher SP-Umfang (N):
σD ; nD
α = 0.05;
D
=
"ˆ12 (n1 ! 1) + "ˆ 22 (n2 ! 1)
n1 + n2 ! 2
!
1- β = .80
Mit der errechneten Effektstärke nun in der Tabelle
„Poweranalyse für Mittelwerts-vergleiche mit Hilfe des tTests“ nachschauen.
In der Regel muss nun wieder interpoliert werden:
Wir suchen uns den zugehörigen Wert zu n.10 in der Tabelle
raus und fügen ihn in nebenstehende Formel ein
Man gibt in der Regel eine Power von 0.80 vor!
Über die Interpolationsformel kann auch die aktuelle Power ausgerechnte
werden. Man hat dann die iegenen Werte als Basis, setzt diese in die
Interpolationsformel ein und löst diese nach n..10 auf. Mit der erhaltenen Anzahl
Probanden kann dann rückwärtig in Tabelle geschaut werden, bei welcher
Power man die entsprechende Anzahl Vpn unter n.10 findet.
Interpolation:
n=
n.10
+1
100 ! d ?
13
NOTES:
Intervallskalierte Daten
SP ↔SP
t-Test für
abhängige SPn
bei Messwertverteilungen schauen wir mit dem errechneten d ins Nomogramm, ,bei Mittelwertverteilungen in die
Tabelle „Poweranalyse für Mittelwertsvergleiche mit Hilfe des t-Tests“
Voraussetzungen:
SPs müssen abhängig sein,
d.h. gepaart oder
Messwiederholung
N > 25, dh. möglichst
normalverteilt
Messwerte müssen
intervallskaliert sein
Streuungen bzw. Varianzen
sollten ziemlich gleich sein
Der t-Test ist so robust, dass
es reicht, wenn Verteilung
nicht übermässig schief ist
wenn verletzt Wilcoxon
t=
D
#̂ D
D=
! (x1 " x 2 )
n
_
D = Mittelwert der Differenzen
! D =
#ˆ
!ˆ D2
!ˆ
= D
nD
nD
2
D
=
" Di2 ! (" Di )
n
n !1
Signifikanz:
|tp| ≥ tk , dann H0 verwerfen
Paar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Methode A
15
45
16
41
7
48
46
37
40
35
Methode B
5
36
18
25
10
40
43
30
35
29
5
6
Differenz A - B 10 9
- 2 16 -3
8
3
7
Hypothesen:
H0: Methode A unterscheidet sich nicht von Methode B
H1: Methode A unterscheidet sich von Methode B.
α = 0.05
tk in Tabelle nachschauen: bei df= nd – 1 ( hier: 9) :
tk= 2.262 ( zweiseitig)
Prüfgrösse errechnen:
_
D = 5.9 ;
σD = 5.626 ()
t=
5.9
5.625
10
= 3.316
tp ≥ tk, mit df = 9 für α = 0.05; H0 wird zu Gunsten H1 verworfen.
14
Berechnen der
Abschätzen des
Stichprobenumfangs für
abhängige SPn
D=
!D
nD
deskriptiven Werte der Differenzen
2
i
;
" Di2 ! (" Di )
#ˆ D =
n
n !1
Effektstärke
Berechnen der Effektstärke:
Interpolation
d=
D
# 2
"ˆ D
;
2
#ˆ D =
" Di2 ! (" Di )
n
n !1
Interpolieren, falls Wert nicht direkt aus Tabelle ablesbar
n=
!
Power
Wenn nicht gegeben: siehe
S 15
!
n.10
+1
100 " d 2 !
n = Anzahl Paare !!!!
Power:
Wird vorgegeben : 1 - β = .80 (80 %)
wird vorgegeben oder abgeschätzt
(wenn man es noch genauer haben will)
Ermittlung des erforderlichen SP-Umfangs mit Tabelle:
„Poweranalyse für Mittelwerte mit Hilfe des t – Tests“
15
Abschätzen der
Teststärke (Power)
Gegeben:
n.10
d
n ( bei einer Power von 80%)
Voraussetzungen:
abhängige SP
intervallskalierte Messwerte
normalverteilte Differenzwerte
(nicht Mittelwerte oder
Messwerte!!!!)
Man formt die Interpolationsformel
nach n.10 um:
n.10 = 100 " d 2 " (n ! 1)
Man nutzt die Seitenverhältnisse zweier Dreiecke aus.
1-βo
1-βu
n.10u
n.10
n.10o
Daraus ergibt sich die Berechnung der genauen Power:
(1 " ! o )" (1 " !u ) = (1 " ! )" (1 " !u )
intervallskalierte Daten
n.10o " n.10u
n.10 " n.10u
$ (1 " ! ) = [(1 " ! o )" (1 " ! u )]#
Interpolation:
(1 ! # )= Pu + (Po ! Pu )" n.10 ! n.10u
n.10o ! n.10u
n.10 " n.10u
+ (1 " ! u )
n.10o " n.10u
↓
Po
Pu
P = Wahrscheinlichkeit für den jeweiligen n.10 Wert
Interpolation:
(1 ! # )= Pu + (Po ! Pu )"
n.10 ! n.10u
n.10o ! n.10u
man kann nun alle Werte aus der Tabelle
„Poweranalyse für Mittelwertsvergleiche mit Hilfe des t-Tests“
heraussuchen.
16
Zusammenhang
s-masse bei
intervallskaliert
en Daten
Regression
Intervallskalierte Daten
Regressionskoeffizient b
Regressionen beschreiben
Zusammenhänge bezüglich ihrer
Art.
Typische Fragestellungen:
Hängt etwas von etwas anderem
ab?
Wie gross ist ein voraussichtlicher Erfolg mit bestimmter
Punktezahl in Vor-test
Voraussetzung:
Es müssen Paare von
Messwerten vorliegen
(typischerweise zwei Messwerte
derselben Person)
Es gibt verschiedenartige
Zusammenhänge:
lineare und nicht-lineare
unterschiedlichster Art.
Wir befassen uns zunächst mit
der linearen Regression.
Die Parameter b und b0 sind so
zu beschreiben, dass die Summe
der quadrierten vertikalen
Abstände der Punkte zur
Geraden minimal wird. = Summe
der kleinsten quadrierten
Abweichungen (least-squarecriterion) = QSe
Lineare Regression:
Definiert durch die Gleichung:
y = b0 + b·x
b0 =
y-Achsenabschnitt
b1 =
Steigung der Geraden bzw.
Regressionskoeffizient
b1 =
n " # xi y i ! # xi # y i
2
n " # x ! (# xi )
2
i
b0 = y ! b1 x
_
_
y und x sind Koordinaten eines
Punktes auf der
Regressionsgeraden.
Ich beschränke mich hier auf die
Taschenrechnerformel !!!!
Mit Zwischenergebnissen:
b=
cov(x, y )
s x2
b>0
positiver
Zusammenhang,
d. h. je grösser die einen Werte,
desto grösser auch die anderen.
Je grösser x desto grösser y
b<0
negativer
Zusammenhang, d.h. je grösser die
einen Werte, desto kleiner die
anderen.
Je grösser x desto kleiner y
pos. Regr.
neg. Regr.
kein Zusammenhang
y= b0+bx
y= b0 – bx
hier ist b = o y=b0
_
_
∑(xi – x) · (yi – y)
= ———————
nicht geeignet mit dem Taschenrechner
∑(xi – x)²
_
_
∑(xi – x) · (yi – y)
Cov (x, y) = ————————
N
Covarianz erfasst das durchschnittliche Produkt korrespondierender
Abweichungen aller Messwerte vom Mittelwert.
Grosses x Grosses y positive cov
(kleines x kleines y positive cov)
Grosses x kleines y negative cov
(kleines x Grosses y negative cov
Taschenrechnertipp:
Der Taschenrechner muss unter dem Statistikmodus auf
LIN umgestellt werden. Dann geht man auf DATA und
kann nacheinander die x- und y- Werte eingeben. Weiter
auf CALC. Es werden alle Zwischensummen
ausgerechnet und auch die Koeffizienten.
b0 ist bei vielen Taschenrechnern unter a zu finden, b1
unter b. Es wird auch der Korrelationskoeffizient r
berechnet.
17
Beispiel Regression
Streudiagramm SPSS-Output
_
5,00
tochter = 0,50 + 1,50 * mutter
R-Quadrat = 0,94
_
tochter
4,00
_
3,00
_
2,00
1,00
_
0,00
_
0,00
1,00
2,00
3,00
mutte r
Intervallskalierte Daten
b1 =
n " # xi y i ! # xi # y i
2
n " # xi2 ! (# xi )
b0 = y ! b1 x
y = b0 + b1 x
Lineare Regression
Rechenbeispiel für eine lineare Regression:
Besteht ein Zusammenhang zwischen der von Müttern und Töchtern am Gymnasium
verbrachten Zeit?
Paar
Mütter X
Töchter y
xy
X²
Y²
1
0
0
0
0
0
2
0
1
0
0
1
3
1
2
2
1
4
4
2
3
6
4
9
5
2
4
8
4
16
6
3
5
15
9
25
∑xy = 31
∑x² = 18
∑y² =55
∑x =
8
∑y =
15
SPSS- Output der deskriptive Statistiken
Mittelwert
Standardabweichung
N
TOCHTER
2,5000
1,87083
6
MUTTER
1,3333
1,21106
6
N · ∑xy -∑x∑y
6 · 31 – 8· 15
b = ————————— = ———————— = 1.5
n·∑x² - (Σx)²
6·18 - 64
_
_
b0 = y – 1.5·x
Wir gehen davon aus, dass die Mittelwerte auf der Regressionsgeraden liegen und
setzen diese nun für x und y ein :
b0 = 2.5 – 1.5 · 1.33
b0 = 0.5
y = 0.5 + 1.5·x
NOTES:
Manchmal soll man einen y-Wert aufgrund eines x-Wertes vorhersagen:
wenn b0 und b1 bekannt sind,so setzt man den vorgegebenen x-Wert und die beiden b´s in die Formel ein und
erhält so den für x vorhergesagten ŷ -Wert!!!
18
Inferenzstatistische
Aussagen
Standardschätzfehler des
Regressionskoeffizienten
Intervallskalierte Daten
Vergleich eines
Regressionskoeffizienten mit
einem vorgegebenen
Wert β
!
Beschreibt die Güte der Anpassung!
d. h. wie gut beschreibt die Regressionsgerade den
Zusammenhang.
Die Formel für die kleinsten quadrierten Abweichungen
lautet:
∧
OSe = ∑(yi –
yi)² = ∑(yi – b·xi – b0)
∧
y=
der aufgrund der Gleichung vorhergesagte y-Wert.
Voraussetzung:
Abhängige Variable y sollte für jeden Wert der
unabhängigen Variablen x normalverteilt sein
Varianz der abhängigen Variablen sollte für jeden Wert der
unabhängigen Variablen gleich sein
t=
b"#
$b
#ˆ b =
*ˆ ( y| x ) =
Uns interressiert aber wieder die mittlere quadriete Abweichung, die dem
Standardschätzfehler entspricht!
Auch hier dividieren wir durch die Freiheitsgrade:
df= n -2.
QS e
*ˆ (y|x ) =
=
n"2
=
2
(
[
1
n)xy " ()x )()y )] %
2
2
#
! & n)y " ()y ) "
2
#
n(n " 2 ) &'
n)x 2 " ()x )
$
n "1 2
! sy ! 1 " r 2 =
n"2
(
)
n
s y2 ! b 2 ! s x2
n(n " 2 )
(
)
β ist der Mittelwert des Regressionskoeffizienten und wird in der Regel Null
gesetzt
# (y | x ) " n
2
n " ! x 2 " (! x )
&
[n'xy ( ('x )('y )]2 #!
1
2
) $$ n'y 2 ( ('y ) (
2
n(n ( 2) %
n'x 2 ( ('x ) !"
Signifikanz:
tp ≥ tk , mit df= n -2
!
Beispiel:
(Wir nehmen die Werte von oben)
Hypothese:
H0 : β = 0
H1 : β≠ 0
Signifikanzniveau festlegen :
α = 0.05
Ablehnungsbereich für H0, bei α = .05, mit df = n-2 ist t ≥ 2.776
Prüfgrösse berechnen:
"ˆ b =
0.5 # 6
6 #18 $ 8 2 !
=0.185
b–0
1.5 – 0
tp = ———
= ———— = 8.12
σb
0.185
Prüfgrösse liegt im Ablehnungsbereich für H0 ; tp ≥ tk H0 verwerfen
Schlussfolgerung Je länger die Mutter am Gymnasium war, desto länger auch die
Tochter
19
für eine
Schätzung an der
Stelle xi = 1
t=
b#"
!b
KI (oben) = yˆi + t( n " 2,% / 2) # $ˆ ( y| x ) # 1 +
KI (unten ) = yˆ i " t( n " 2,% / 2) # $ˆ ( y | x ) # 1 +
MERKE
6,00
Lineare Regression mit
95,00% Vorhersageintervall f ür Mittelwert
_
tochter = 0,50 + 1,50 * mutter
R-Quadrat = 0,94
_
4,00
tochter
Intervallskalierte Daten
Konfidenzintervall
1
n # ( xi " x ) 2
+
n n # !xi2 " (!xi ) 2
1
n # ( xi " x ) 2
+
n n # !xi2 " (!xi ) 2
_
_
2,00
_
0,00
_
0,00
1,00
2,00
3,00
mutte r
Wir sehen hier dass das KI immer breiter wird, je
weiter wir vom Mittelwert wegkommen
Die KI-Breite ist bei xi = x am kleinsten je weiter x i vom Mittelwert entfernt ist, desto breiter das KI und damit desto
ungenauer die Schätzung!
Die Genauigkeit nimmt also mit zunehmendem Abstand vom Mittelwert ab!
NOTES
20
Korrelation r
Das
Bestimmtheitsmass r²
ntervallskalierte Daten
Intervallskalierte Daten
Der Korrelationskoefizient r nach
Pearson
auch Pearson`s R
genannt
= r² beschreibt die prozentuale Verteilung der erklärten
und nicht erklärten (gemeinsame und nicht gemeinsame)
Varianzanteile.
Durch das Bestimmtheitsmass wird es uns ermöglicht zu
beurteilen, wie gut die Messpunkte durch die
Regressionsfunktion repräsentiert werden.
Dieses Mass basiert auf einer Zerlegung der
Gesamtstreuung in einen mit der Regressionsfunktion
gemeinsamen und einen nicht erklärten Anteil.
Vom Betrag her ist der Korrelationskoeffizient die
Wurzel des Bestimmtheitsmaßes.
Er verfügt jedoch über ein Vorzeichen:
-1 bis +1
(Man kann auch sagen, dass der
Korrelationskoeffizient die Effektstärke der Regression
ist)
Im Umkehrschluss ist das Bestimmtheitsmass das
Quadrat des Korrelationskoeffizienten
Das Bestimmtheitsmass berechnet sich aus:
2
# (y " yˆ )
r? =
# (y " y )
2
=
s y2 " s (2y| x )
s y2
=
2
cov 2 ( x, y )
2 sx
=
b
!
s x2 ! s y2
s y2
Der grösst möglichste Zusammenhang ergibt sich, falls alle Punkte auf der Geraden
liegen.
Das Bestimmtheitsmass liegt zwischen 0 und 1. ( 0 – 100%)
r=
n# xi yi " # xi # yi
=
[n# x " (# x ) ]! [n# y " (# y ) ]
2
2
i
2
2
i
cov( x, y )
s
= b! x
sx ! s y
sy
Beispiel:
Wir nehmen wieder die Daten der Mütter-Töchter-Studie:
6 · 31 – 8 · 15
r = ——————————— = 0.971
[6·18 – 8²][6· 55 – 15²]
√¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Dies bedeutet, dass ein sehr starker Zusammenhang vorliegt.
Da der Korrelationskoeffizient positiv ist bedeutet das, dass mit steigender Anzahl Jahre
der Gymnasialzeit der Mütter die Töchter ebenfalls eine längere Gymnasialzeit haben
Der gemeinsame Varianzanteil (der durch die Regressionsfunktion erklärte Varianzanteil
= Bestimmtheitsmass) beträgt dann demzufolge 0,942841, was einer sehr hohen
Übereinstimung entspricht.
Wir können unser Ergebnis von r quadrieren und erhalten das Bestimmtheitsmass.
Bedeutsamkeit
(Hypothesenprüfung )
Zur Gewöhnung ein SPSS - Output
Korrelationen
MUTTER
TOCHTER
Korrelation nach
Pearson
Signifikanz
(2-seitig)
N
Korrelation nach
Pearson
Signifikanz
(2-seitig)
N
MUTTER
TOCHTER
1
,971(**)
.
,001
6
6
,971(**)
1
,001
.
6
6
** Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant.
21
MERKE:
Voraussetzungen
für Kausalinterpretationen
X geht y zeitlich voraus
Es lässt sich ein Kausalmechanismus formulieren
Änderung von x ist von Änderungen von y begleitet
Einfluss von x auf y kann von Einflüssen anderer potentieller Variablen isoliert werden.
NOTES:
Signifikanztest
Intervallskalierte Daten
für r
Bedeutsamkeit eines
Zusammenhangs r≠ 0
Unterscheidet sich der Korrelationskoeffizient signifikant von
o?
Auch hier benutzen wir das Sechs- Punkte- Schema:
Für n > 25 gilt:
tp =
r n!2
1 ! r2
n einer Stichprobe
Hypothesen:
H0 : ρ = 0 zweiseitig
H0 : ρ ≤ / ≥ 0 einseitig
H1 : ρ ≠ 0 zweiseitig
H1 : ρ < / > 0 einseitig
α = .05
Ablehnungsbereich für H0 für α = 0.05 mit df = 4 : |t| ≥ 2.776
Prüfgrösse berechnen:
t verteilt mit df = n - 2
Signifikanz:
| tp| ≥ tk , mit df = n-2
tp =
√¯¯¯
0.971 · 6 - 2
———————
1√¯¯¯¯¯¯¯¯
– 0.971²
= 8.12
Prüfgrösse mit Kritischem Wert vergleichen: tp ≥ tk ( = 2.776) H0 ist zu verwerfen
Schlussfolgerung: Da der Korrelationskoeffizient positiv ist, können wir nun sagen, dass
die Gymnasialzeit der Töchter mit zunehmender Gymnasialzeit der Mütter signifikant
ansteigt.
Diese Grösse ist t – verteilt mit df = n -2
22
NOTES
Poweranalyse für r
Interpolation für n
Fisher`s ZTransformation
Obere Grenze kann nicht grösser
als 1 sein
Bei sehr kleinem n können die
Verteilungen asymmetrisch sein
1 $1+ r '
Z = " ln& )
2 % 1# r (
Intervallskalierte Daten
ln= 10 er - Logarithmus
Interpolation:
!
& 0.1 #
n = n.10 ' $
!+2
% Z "
Auch hier führt der Weg wieder über
die Effektstärke.
Diese entspricht genau dem
Korrelationskoeffizienten!!
Korrelationen werden bezüglich dem
Effekt wie folgt beurteilt:
.01 = kleiner Effekt
.03 mittlerer Effekt
.05 starker Effekt
Zunächst müssen wir den Fisher`s ZWert berechnen:
Dies ist nichts anderes als eine
transformierte Grösse, also eine
Standardisierung, damit wir auch im
Fall von asymmetrischen Intervallen
oder Verteilungen (kleines n) quasi
Richtwerte haben, die uns einen
Vergleich erst ermöglichen, d.h. die
uns inferenzstatistische
Berechnungen mit dem
Korrelationskoeffizienten erlaubt.
(Eine zwischen -1 bis 1 liegende
Grösse wird auf das Intervall -∞ bis
∞ transformiert)
(Nach der Transformation sind die
Grössen intervallskaliert)
z-Wert berechnen:
Z=
1 &1+ r #
( ln$
!
2 %1' r "
Wir ermitteln n mit Hilfe der Tabelle nach Cohen „ Poweranalyse für
Korrelationen mit Hilfe von t -Tests“ ( Z-Wert suchen und die
dazugehörigen n)
Für nicht tabellierte Zwischenwerte wird auch hier interpoliert:
& 0.1 #
n = n.10 ' $
!+2
% Z "
n.10 ist die Versuchspersonenzahl bei der gewünschten Power und r = 0.01
aus der Tabelle abgelesen.
23
NOTES
Intervallskalierte Daten
Konfidenzintervall
(KI)
Zunächst wieder die Fisher`s Z - Transformation,
da bei kleinem N das Intervall asymmetrisch sein
kann.
Vorteile durch Transformation:
KI für ζ
(= transformiertes ρ) ist symmetrisch
Seine Mitte liegt bei Z
Die Standardabweichung von Z beträgt
"=
1
n!3
Drei Schritte der Berechnung des KI mit dem Taschenrechner
1 &1+ r #
Z = ( ln$
!
2 %1' r "
ln = 10 er Logarithmus
Um nun wieder
Z u = Z $ z (" / 2 ) # ! z
Z o = Z + z (" / 2 ) # ! z
Korrelation
swerte zu
erhalten
muss man
hier eine Rücktransformation
durchführen
e 2 Zu ! 1
ru = 2 Zu
e +1
mit
" z =
1
n!3
zk wird aus der
Normalverteilungstabelle zur
vorgegebenen
Irrtumswahrscheinlichkeit α
herausgesucht
ro =
e 2 Zo ! 1
e 2 Zo + 1
Die nun errechneten Werte
werden in der
Schlussformulierung als die
Grenzen des KI`s
angegeben.
NOTES
24
Beispielrechnung
Gegeben:
r = 0.971
n =6
Intervallskalierte Daten
1
σz = ———— = 0.577
√¯¯¯¯¯¯
6–3
Z=
1 & 1 + 0.971 #
ln$
! = 2.110
2 % 1 ' 0.971 "
Zu = 2.110 – 1.96 · 0.577 = 0.979
Zo = 2.110 + 1.96 · 0.577 = 3.241
Rücktransformation:
man muss das Ergebnis ja in
Korrelationskoeffizienten
angeben:
2·0.979
e
-1
ru = —————— = 0.753
2·0.979
e
+1
2· 3.241
e
-1
r0 = —————— = 0.997
2·3.241
e
+1
mit einer Wahrscheinlichkeit
von 95% liegt
Korrelationskoeffizient ρ
zwischen
0.753 und 0.997.
NOTES
25
Intervallskalierte Daten
Fisher ZTransformation
Vergleich
Korrelationskoeffizient
Konstante
Vgl. zweier
Korrelationskoeffizienten
Um auch hier wieder
irgendeinen
Korrelationskoeffizienten mit
einer Konstanten oder mit
einem anderen
Korrelationskoeffizienten
vergleichen zu können, muss
das Ganze standardisiert
werden (einheitlich skaliert),
d.h. die Koeffizienten müssen
transformiert werden.
Z=
1 &1+ r #
( ln$
!
2 %1' r "
Z1 ! #
= (Z ! # ) " n ! 3
$z
ζ = transformiertes ρ
Bei genügend grossem n
normalverteilt
Z ! Z2
zp = 1
" Z1 ! Z 2
zp =
"
Z1 ! Z 2
=
1
1
+
n1 ! 3 n2 ! 3
Z = transformiertes r
bei genügend grossem n
normalverteilt
Signifikanz:
| z| ≥ zk ,dann H0 verwerfen
MERKE
Beispiel:
Wir wollen schauen, ob unser r signifikant von 0.5 verschieden ist: ( Vgl. R
mit Konstante)
Hypothese:
H0 : ρ = ζ
H1 : ρ ≠ ζ
α = 0.05
Ablehnungsbereich für H0 für α = .05 ,normalverteilt: | z| ≥ 1.96
Prüfgrösse berechnen
Z=
1 & 1 + 0.971 #
1 & 1 + 0.5 #
ln$
! = 2.110; ( = ln$
! = 0.549
2 % 1 ' 0.971 "
2 % 1 ' 0.5 "
nun müssen wir in die Formel einsetzten:
(Z ! # )"
n!3
( 2.110 – 0.549) ·
6-3 √¯¯¯
= 2.70
Vgl. zp mit zk
Da die Prüfgrösse im Ablehnungsbereich liegt wird H0 verworfen.ρ ist
signifikant von 0.5 verschieden
.
Das Verändern von Masseinheiten kann Einfluss auf den Regressionskoeffizienten haben!
Skalenveränderung: x – Achse unterschiedlich zu y- Achse: Verzerrung
Verschieben des Nullpunktes:
keine Änderung an den Koeffizienten
Grösse des Koeffizienten kann von Messeinheizen abhängen. damit Korrelationskoeffizienten vergleichbar sind : Fisher´s z-Transformation
Für standardisierte Daten ist der Regressionskoeffizient = dem Korrelationskoeffizient, wobei die Korrelationskoeffizienten der Rohdaten mit denen der
Transformierten Daten gleich sind.
Cov (zx,zy)
Cov (zx,zy)
B = ————
und
R = ————
wobei szx = 1 , szy = 1 ist , df. B = R = cov(zx, zy)
Sz ²
Sz ² · s y ²
Die Steigung der Regressionsgeraden kann bei standardisierten Daten nicht grösser als 45° (für B = r = 1) und nicht kleiner als – 45° (für B = r = -1)
sein.
26
Intervallskalierte Daten
Binomialtest
Voraussetzung:
zwei alternative Ereignisse
häufiges Wiederholen der
Untersuchung
Eine typische Binomialverteilung liegt
vor, wenn wir uns das Würfelbeispiel
anschauen
Es geht darum, die
Wahrscheinlichkeit eines der
Ereignisse zu errechnen
bei kleinem n Fisher-Yates-Exact
Test
bei grossem n χ²
µ = n" p
# = n " p " (1 ! p )
Die Form der Binomialverteilung ist
abhängig von n und p.
p=
Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten eines Ereignisses
p<.50 linkssteil
p=.50 symmetrisch
p>.50 rechtssteil
Signifikanztest:
n *n'
p ( x"#k / n ) = + (( %% $ , 2 $ (1 ! n )n !i
i =k ) i &
Beispiele :
krank / gesund
exponiert / nicht exponiert
4Würfelbeispiel
Münzwurf
für n·p·(1-p) > 9 z- Transformation
mit
zp =
# k = n " p " (1 ! p )
k " Ek
!x
zp =
k # n "!
n " ! " (1 # ! )
µ = n " p (p = ! )
n = Anzahl auftretender Ereignisse
π = Wahrscheinlichkeit innerhalb der
Grundgesamtheit: muss gegeben sein
bei einer zweiseitigen Hypothese werden nun die entsprechenden
Ereigniswahrscheinlichkeiten beidseitig addiert (rot), bei einer einseitigen nur die auf
der entsprechenden Seite. Die Wahrscheinlichkeiten sind in Abhängigkeit zu n
tabelliert. ( Die in Tabelle angegebenen Werte müssen einfach zusammengezählt
werden)
Für kleine n wird in der Praxis der Fisher-Yates Exact –Test empfohlen, für grosse n
χ²-Tests.
27
Wenn Vorraussetzungen für t-
Test verletzt sind.
Der U –Test rechnet streng
genommen immer noch mit
intervallskalierten Werten, die
für unabhängige SPn wir jedoch auf ordinal Niveau
herabbrechen.
Es werden keine Annahmen zur
Verteilung gemacht und auch
SP SP
keine deskriptiven Werte
errechnet, deshalb non –
parametrische Tests.
U –Test von Mann
–Whitney
Für n1 und n2 < 20
1. Hypothesen aufstellen:
H0 : µU =µ0
H1 : µU ≠ µ0
2. α = 0.05
3. Kritischer Wert für α: z ≥ I 1.65I
4. Prüfwert berechnen
Rangreihe bilden
T ausrechnen
In Formel einsetzten
n1 " (n1 + 1)
! T1
2
n " (n 2 + 1)
U 2 = n1 " n 2 + 2
! T2
2
U 1 = n1 " n 2 +
n1 " (n1 + 1)
! T1 wenn n1/n2< 20 wird der kleinere
2
U- Wert mit dem kritischen U
n2 " (n2 + 1)
U 2 = n1 " n2 +
! T2 Wert aus Tabelle verglichen.
2
z=
Wenn n1/n2 > 20 mit zTransformation und dem
grösseren U-Wert rechnen
U " µU
!U
"U =
wenn...n1 # n2 :
µU =
z=
| U " µU | "0.5
!U
Gruppe2
x1
R1
x2
R2
3
1
17
7
8
2
20
9
10
3.5
40
12.5
10
3.5
48
14
15
5
53
15
16
6
55
16
20
9
61
17
20
9
72
18
21
11
40
12.5
Für n1 +n2 < 20 :
U 1 = n1 " n2 +
wenn n1 und n2 > 20:
Gruppe 1
n1 ! n2 (n1 + n2 + 1)
12
n1 ( n2 & n 3 ' n k t 3 + t #
!!
($
')
n(n ' 1) $% 12
i =1 12 "
t = Anzahl Personen, die sich einen
bestimmten Rangplatz teilen
k= Anzahl verschiedene Gruppen mit
verbundenen Rängen
T2 = 108.5
und dann die entsprechenden Rangplätze zuordnen.
Danach wieder auf zwei Spalten verteilen und die jeweilige
Rangsummen ( T1 und T2) errechen.
Dann U1 und U2 berechnen:
10·(10 + 1)
U1 = 10·8+—————— -62.5
=72.5
2
8·(8+1)
U2 = 10·8+ —————— - 108.5 =7.5
2
Dann die deskriptiven Werte berechnen:
10 ! 8
= 40
2
10 ! 8 ! (10 + 8 + 1)
"U =
= 11.26
12
n1 ! n 2
2
mit verbundenen Rängen:
* U korr =
T1 = 62.5
Die Messwerte beider Gruppen in eine Reihe bringen
µU =
U - µU
z= ————
σU
Für uns ist der grössere der beiden
U - Werte wichtig !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
72.5 - 40
Z = ———— = 11.26 zp > zk H0 wird verworfen
11.26
Berechnung des t :
im obigen Bsp. Kommen die Werte 10, 20, 40, mehrfach vor.
10 kommt 2 mal vor
20 kommt 3 mal vor
40 kommt 2 mal vor
Daraus ergibt sich: zweimal wird ein Rang doppelt belegt, einmal dreifach:
∑ 2 ·(2³ -2) + 1· ( 3³ -3)
28
Wilcoxon TTest
für
abhängige
SPn
Für grosse SPn
⇓
Voraussetzungen:
wenn Voraussetzungen für tTest nicht erfüllt
Differenzwerte sollten in der
Population symmetrisch
verteilt sein
bei Normalverteilung t-Test
nur symmetrisch verteilt
Wilcoxon
Wenn Differenzwerte
asymmetrisch verteilt
Vorzeichentest
Ausreisser nach beiden
Verteilungsästen
Vorzeichentest
Daten müssen intervallskaliert
sein
Beispiel:
Bis n= 33 sind die kritischen Werte
tabelliert!!!
wir müssen also bis n = 33 nicht
rechnen, sondern nur in Tabelle
nachschauen.
B
Rang R
R+
R-
B
8
15
-7
6
6
4
7
-3
4
4
Nulldifferenzen werden vom Gesamt N
abgezogen.
17
17
0
12
13
-1
1.5
1.5
Gibt es mehrere Nulldifferenzen, so
werden diese alle mit dem Rangplatz
(p+1)/2 belegt und je zur Hälft R+ und Rzugeordnet.
10
8
2
3
3
13
13
0
3
2
1
1.5
1.5
Vorgehen:
Für jede VP wird die Differenz der beiden
Werte errechnet
Den Beträgen ( ohne Vorzeichen) werden nun
Ränge zugeordnet
Differenzen von 0 werden nicht berücksichtigt
die kleinste Differenz erhält Rang 1, die
grösste Np = n – Anzahl Nulldifferenzen
In die Spalte R+ werden alle positiven Ränge
(hier gilt das Vorzeichen des Differenzbetrags)
eingetragen, in R- alle negativen.
Der gesuchte Prüfwert Tp entspricht dem
kleineren der beiden Ts
7
18
-11
8
8
8
12
-4
5
5
6
14
-8
7
7
Signifikanz:
wenn Tp≤ Tk , kann H0 verworfen
werden
Ordinale Daten
D=AA
Np= 8
ohne
T1=4.
Nulldiffere
5
T2=31.5
nzen
T = Die Summe der jeweiligen Rangplätze. Der kleinere der beiden
Werte ist für uns entscheidend.
N = Summe der Gesamtrangplätze, ohne Nulldifferenzen
Hypothesenüberprüfung:
1. H0: µ1 =µ2
H1 :µ1 ≠µ2
2.α = 0.05 / 0.01
3.Ablehnungsbereich für H0: für n < 33 in Tabelle
nachschauen; für`das Beispiel: Tk = 3
4.Tp ermitteln: Tp ist für uns der kleinere der beiden
T –Werte, die sich aus der obigen Tabelle ermitteln liessen.
5. Tp mit Tk vergleichen. Wenn Tp ≤ Tk dann kann H0
verworfen werden. ( Im Beispiel ist Tp = 4.5 keine
Signifikanz,H0 wird beibehalten)
6. Schlussfolgerung
29
Zum Wilcoxon –
Test
SPn mit grossem N
Berechnung für
grosse Stichproben
k
Hypothesenprüfung bei grossen Stichproben: Als Beispiel rechnen
wir zwar auch mit n = 8,
dies dürften wir in der Realität jedoch nicht machen!!!!!
1. Hypothesen aufstellen.
2. α festlegen = 0.05
3. Ablehnungsbereich festlegen: z = I 1.96 I;
I zP I ≥ 1.96
4. (Wir müssen nun mit dem z – Wert rechnen,
da wir bei hohem N uns der
Normalverteilung angleichen !!!!!!!!)
Berechnen des kritischen Wertes: Dazu müssen wir die
deskkriptiven Werte berechnen.
8·(8+1)
µT =———— = 18
4
j =1
#T =
Deskriptive Werte:
n p (n p + 1)
µT =
4
np = N des kleineren T- Wertes
!T
n p (n p + 1)(2n p + 1)
24
Tritt eine grössere Anzahl verbundener Ränge
auf, so muss σ korrigiert werden:
n p (n p + 1)(2n p + 1) + ! (t i3 " t i ) / 2
#T =
24
ti = siehe Einschub
Für 33 < n < 60 :
( Annäherung an Normalverteilung)
| T " µ T | "0.5
z=
!T
8(8 + 1)(2 " 8 + 1)
= 7.14
24
| T ! µ T | 4.5 ! 18
z=
=
= 1.89
#T
7.14
5. Da zP nicht ≥ 1.96 muss H0 beibehalten werden.
6. Interpretation des Ergebnisses.
Die Schreibstile unterscheiden sich nicht von einander.
Für n > 60 gilt:
z=
| T " µT |
!T
Ordinale Daten
Signifikanz
zp ≥ zk; dann H0 verwerfen
Einschub: Wie komme ich zu ti?
Der Rangplatz 1.5 tritt 2-mal auf.
damit ist t = 2
Dies ergäbe in unseren Beispiel für ∑ (t³ - t)
(2³ -2) .Gibt es nun mehrere Ränge, die 2mal vorkommen ,
so multipliziert man vor Klammer mit diesem Faktor : x · ( 2³
- 2)
Der eigentliche Rangplatz tut nichts zur Sache. Es geht nur
darum wie oft Rangplätze belegt sind und wie oft
unterschiedliche Rangplätze gleich oft belegt sind.
30
Voraussetzungen:
Korrelationen für
ordinalskalierte
Daten
unabhänge
Stichproben
Pearsonkorrelation
abhängige
Stichproben
Überpüfung einer
Zusammenhangshypothese
Variablen müssen mindestens
ordinalskaliert sein
kleiner Stichprobenumfang
Verteilungsform nicht klar ersichtlich
Für unabhängige Variablen
berechnet sich der
Spearman´sche
Korrelationskoeffizient wir der
Pearson´sche.
Für abhängige Variablen gilt:
Wir müssen hier Rangreihen
bilden und deren Differenz
errechnen (siehe Tabelle
nebenan). Bei gleichen Werten
wird derselbe Rang vergeben.
Die Summe der quadrierten
Differenzen bildet unseren
Ausgangswert zur Berechnung
der Prüfgrösse.
Spearman´sche
Rangkorrelation
rs = 1 !
6 " # D2
n3 ! n
Ordinale Daten
zur Signifikanzüberprüfung:
Kendall´s τ
⇓
Siehe
32
t = rs
n!2
1 ! rs2
Signifikanz:
| tp| ≥ tk , mit df = n – 2
Für unabhängige SPs gilt die Formel des Pearson´s r:
Zunächst Rangreihen bilden, dann die Differenzen der Ränge und diese
dann in die Pearson´sche Formel einsetzten.
r=
n# xi yi " # xi # yi
=
[n# x " (# x ) ]! [n# y " (# y ) ]
2
2
2
2
i
i
cov( x, y )
s
= b! x
sx ! s y
sy
Für abhängige SPs gilt : Beispiel
Mutter (x)
Tochter (y)
Rang x
Rang y
D= Rx - Ry
D²
0
0
1,5
1
0,5
0,25
0
1
1,5
2
-0,5
0,25
1
2
3
3
0
0
2
3
4,5
4
0,5
0,25
2
4
4,5
5
-0,5
0,25
3
5
6
6
0
0
∑x= 15
∑y = 21
∑D = 0
∑D² = 1.00
rs = 1 !
6 " # D2
n3 ! n
Zur Signifikanzüberprüfung :
Für n < 30 kann errechneter Wert direkt mit kritischem aus Tab.9
Coolican verglichen werden
Für n> 30 : Prüfgrösse muss berechnet werden
t p = rs
n!2
1 ! rs2
t-verteilt mit df = n – 2
dann wieder in der t-Tabelle nachschauen und die Werte vergleichen.
31
Kendalls τ
τ ist ebenfalls ein Mass um
Zusammenhänge ordinalskalierter
Daten zu beschreiben. Im
Gegensatz zu Spearman behandelt
Kendall´s τ nur Ordinaldaten
-1 < τ < +1
für n < 40 :
"=
P!I
n(n ! 1) / 2
P = Anzahl Proversionen
I = Anzahl Inversionen
n = Anzahl Zeilen der Tabelle
Ordinale Daten
Für n > 40 :
z=
P!I
n(n ! 1)(2n + 5)
18
Beispiel:
Vorgehen :
Für jede Variable eine Rangreihe bilden
Eine der beiden Reihen wird als Ankerreihe verwendet
Die andere Rangreihe ist die Vergleichsreihe
Für jeden Rangplatz der Vergleichsreihe wird überprüft, ob die folgenden Ränge
höher (+) oder niedriger (-) sind.
Anzahl Proversionen (+) und Inversionen(-) dann in die Formel einfügen
x
6
5
15
9
2
y
7
4
11
14
10
R(X)
3
2
5
4
1
7-3
τ = ————— = 0.4
5·(5-1)/2
R(Y)
2
1
4
5
3
R´x
1
2
3
4
5
R`y
3
1
2
5
4
R`y
3
3
3
3
1
1
1
2
2
5
∑R´y
1
2
5
4
2
5
4
5
4
4
(-)
(-)
( +)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
NOTES
32
Vorraussetzungen:
χ² - Goodness of
Fit
Nominale Daten
SP POP
Zufallsstichprobe
Nominalskalierte Daten
jede Beobachtung ist genau
einer Kategorie zugeordnet
Die erwarteten absoluten
Häufigkeiten sollten mind. 5 sein
Beobachtete Häufigkeit
Erwartete Häufigkeit
Relativ
Relativ
Persönlichkeitsmerkmal
Goodness of fit –Test ist auch ein
Anpassungstest. Es wird geschaut,
wie angepasst die SP-Verteilung an
eine Normalverteilung ist
( fb- – fe)²/fe
absolut fb
absolut fe
A
0.50
30
0.67
40
3.33
B
0.25
15
0.08
5
6.67
C
0.25
15
0.25
15
0.00
n = 60
χ²= 10.00
Absolute und relative Häufigkeiten der Persönlichkeitsmerkmale A, B, C
Das was wir errechnen müssen. Häufig müssen auch noch entweder die absoluten aus den relativen
oder die relativen aus den absoluten Häufigkeiten errechnet werden. 〈 ( fb- fe)/fe gibt die mittlere
quadrierte Abweichung einer jeden Gruppe an〉. ( In den Tabellen, die wir von Stöcklin bekommen
fehlt
die graue Spalte selbst hinzufügen)
Beispielrechnung
( fb " fe )2
# =!
fe
2
mit fb , fe als beobachtete bzw.
vorhergesagte absolute Häufigkeiten.
Bei hinreichend grossem n χ² verteilt ,
mit :
df = k – 1; k = Anzahl Kategorien
Signifikanz
χ²p ≥ χ² k dann H0 verwerfen.
Gegeben : Relative Häufigkeiten ( siehe Tabelle)
Hypothesen aufstellen
α festlegen
χ²k aus Tabelle ermitteln, mit df = k-1
Gegebene Tabelle u absolute Häufigkeiten
Erweitern ( rosa markiert). Meist gibt Herr
Stöcklin die relativen Häufigkeiten an . Aber hier
aufpassen !!!!!
fe = erwartete relat. Häufigk. x n (/ 100)
fb = beobachtete rel. Häufigk. x n ( /100)
relativ. Häufigkeiten = absolute Häufigk. / n x 100
5.
∑ (fb – fe)² / fe = χ²p
6.
χ²p mit χ²k vergleichen. χ²p ≥ χ² k dann H0 verwerfen.
33
Vorraussetzungen:
Vierfelder χ2 – Test
Unabhängiger
Stichproben
SP SP
Zufallsstichproben
Nominalskalierte Daten
Dichotom gestufte Variablen.(
Dh. Es gibt jeweils zwei
Möglichkeiten einer Zuordnung)
Die erwarteten absoluten
Häufigkeiten sollten mind. 5 sein
Beachte:
χ² - Test sollte nicht für n< 20
verwendet werden.
(SPSS bietet uns den Fisher
Exakttest)
Nominale Daten
Signifikanz
Wenn χ²p ≥ χ²k, dann H0
verwerfen.
Beispiel: Untersuchung von geschlechtsspeziefischem Rauchverhalten,
das heisst: Unterscheiden sich die relativen Häufigkeiten der Rauchenden bei Männern und Frauen?
Geschlecht
Raucher
Nichtraucher
Total
Männer
14
36
50
Frauen
8
32
40
Absolute Häufigkeiten der Raucher und
Nichtraucher
Hypothesen aufstellen:
H0 : Relative Häufigkeiten der
Rauchenden bei Männern und
Total
22
68
90
unterscheiden sich nicht.
H1: Rel. Häufigk. der rauchenden Männer und Frauen unterscheiden sich.
α festlegen
Ablehnungsbereich : χ²k aus Tabelle ermitteln mit df= k-1
Auch hier interessieren uns die erwarteten Häufigkeiten:
Wir müssen also zunächst mal umsortieren
4. Prüfgrösse berechnen:
Frauen
Berechnung der Prüfgrösse für unser Beispiel:
Die erwarteten Häufigkeiten berechnen sich allgemein durch:
fe = Zeilensumme x Spaltensumme / n
Beispiel für erste Zeile: 50 x 22 / 90 = 12.222
50 x 68 / 90 = 37.778 ; mit der zweiten Zeile analog verfahren
Errechnen von ( fb-fe)²/ fe : für die erste Zeile: (14 – 12.222)² / 12.222 = 0.259
Geschlecht
Rauchverhalten
fb
fe
(fb – fe)² / fe
Männer
Raucher
14
12.222
0.259
Männer
Nichtraucher
36
37.778
0.084
Frauen
Raucherinnen
8
9.778
0.323
Frauen
Nichtraucherinnen
32
30.222
0.105
χ² = 0.771
5. χ²p mit χ²k vergleichen: χ²p ≥ χ²k , damit H0 verworfen werden kann.
6. Schlussfolgerung bzw. Interpretation.
34
NOTES
Mc Nemar
Nominale Daten
χ² - Test für
abhängige SPs
Zweimalige Messung eines
dichotomen ( alternativen )
Merkmals
(b-c)²
χ² = ————
b+c
( | b-c | - 1)²
χ² = ————
b+c
Signifikanz:
χp² ≥ χk²
für b+c >30
für b+c < 30
Untersuch 1
Beispiel
Untersuch 2
M1
+
-
+
a
b
-
c
d
Unter H0 geht man davon aus, dass gleich viele
Probanden von „+“ nach „-„ wechseln und
umgelehrt.
Frage: Unterscheidet sich die Differenz zweier
Prozentwerte aus abhängigen Stichproben
signifikant?
a+b
a+c
P1 = ————— ·100% ; P2 = ———— · 100%
n
n
Dies sind die Wahrscheinlichkeiten unter H0
exponiert und z.B. krank zu sein:
a+b · a+c
P(e∧k) = —————
n
N ist hier die Gesamtstichprobengrösse
M2
bestanden
Nicht
best.
Bestanden
a =35
b=5
Nicht best.
c = 20
d = 10
Uns interessiert nur die Diagonale c +b in der
keine Übereinstimmung stattfindet. A und d
bleiben unverändert.
1.Wir müssen nun wieder die erwarteten
Häufigkeiten errechnen:
fe = (b+c) / 2
Unter H0 erwartet man, dass die Zellen b und c
gleichbesetzt sind.
( | 5 – 20 | - 1)²
χ² = ——————— = 7.84
5+20
χ² k = 3.84,mit df = 1 bei α = 0.05
χ² p ≥ χ²k
35
Zusammenhangsmasse für Vierfelder
χ² -Test
( man kann mit dem
Vierfelder χ² -Test also nicht
nur Unterschiedshypothesen
überprüfen, sondern auch
Zusammenhänge dichotomer
Variablen)
Hier wird geschaut, ob es
einen Zusammenhang gibt.
Für die Stärke des
Zusammenhangs benötigt
man die Assoziationsmasse:
Stärke eines
Zusammenhangs
Nominale Daten
Phi - φ:
Assoziationsmass
(Zusammenhangsmasse =
Kontingenzmass)
Für 2 x 2 Tabellen
Für n< 20 sollte der Fisher Exakttest von
SPSS benutzt werden.
Für 20 < n < 60 gilt:
n(| a ! d " b ! c | "n / 2)?
# 2 (r ?) =
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
n( a ! d " b ! c )
r=
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
Wir haben es hier mit einer
Kontiguitätskorrektur zu tun.Man bildet die
Prüfgrösse so in einer kontinuierlichen
Verteilung ab, obwohl sie diskret abgebildet
ist.
In den Büchern wird r angegeben, nicht χ²,
dh. Wir müssen für r noch die Wurzel aus
dem Ganzen ziehen: Für Stöcklin würde ich
Sicherheits halber mit χ² rechnen.
Für n < 60 gilt:
# 2 (r ?) =
"=
n(a ! d " b ! c)?
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
Gibt die Art des Zusammenhangs an, bzw.ob überhaupt einer besteht:
Beispiel: allgemein
a
c
a+c
b
d
b+c
a +b
c+ d
n
In dieser Form können wir uns die Zusammenhänge klarer machen.
Es ist nötig, dass die Daten in einer Vierfeldertafel vorliegen.
Weitere Voraussetzungen sind:
Unabhängige Zufallsstichprobe
Jede Beobachtung wird genau einer Kategorie zugeordnet
Die erwarteten absoluten Häufigkeiten solltenmind. 5 sein
NOTES
Es gibt noch andere Assoziationsmasse ( Kontingenzkoeffizient,Kramers V).
Für 2x2 Tabellen eignet sich jedoch am besten das φ.
Gibt die Stärke des Zusammenhangs an !!!!
Alle Assoziationsmasse sind direkt von n abhängig!!!!!!
!2
n
36
Voraussetzung:
k x l - χ² Test
Zusammenhangsüberprüfung:
Siehe nächste Seite
⇓
⇓
Mehrfachgestufte Variablen, nominal
skaliert
Unabhängige Zufallsstichproben
Jede Beobachtung wird genau einer
Kategorie zugeordnet
Die erwarteten Häufigkeiten sollten
mindestens 5 sein
Vorgehen:
Hypothesen aufstellen
α festlegen
Ablehnungsbereich für H0 suchen in
Tabelle bei df = (k-1)(l-1)
K= Kategorien/ Spalten
L = Zeilen ( bezogen auf die Tabelle ohne
zu erwartende Werte)
4. Prüfgrösse errechnen: siehe
nebenan
5. Prüfgrösse mit kritischem Wert
vergleichen
6. Schlussfolgerung
Zeilensumme x Spaltensumme
fe = ——————————————
n
(fb – fe)² / fe
Nominale Daten
Signifikanz:
χp² ≥ χk²
Beispiel:
Unterscheiden sich Jugendliche verschiedener Altersklassen in der Art ihrer Rohrschachdeutungen?
Beobachtete absolute Häufigkeiten
Beobachtete absolute Häufigkeiten
Altersklasse
Deutungsart
Total
Mensch
Tier
Pflanze
10 – 12 J.
12
80
30
122
13 – 15
20
70
50
140
16 - 18
35
50
30
115
19 - 21
40
55
28
123
107
255
138
500
Wir müssen nun wieder die erwarteten absoluten Häufigkeiten
Zeilensumme x Spaltensumme
fe = ——————————————— über alle Zeilen und Spalten hinweg !!!!
n
und (fb – fe)/fe errechnen. Dies geht genauso, wie bei Vierfeldertest: Wir müssen die Tabelle umkonstruieren
Alter
Deutung
fb
fe
(fb – fe)² / fe
10-12
Mensch
12
26.108
7.624
10-12
Tier
80
62.220
5.081
10-12
Pflanze
30
33.627
0.391
13-15
Mensch
20
29.960
3.311
13-15
Tier
70
71.400
0.027
13-15
Pflanze
50
38.640
3.340
16-18
Mensch
35
24.610
4.387
16-18
Tier
50
58.650
1.276
16-18
Pflanze
30
31.740
0.095
19-21
Mensch
40
26.322
7.108
19-21
Tier
55
62.730
0.953
19-21
Pflanze
28
33.948
1.042
χ² =34.64
Nun gilt es noch χk² aus der Tabelle zu suchen: mit df = (k-1)(l-1)
und mit χp² zu vergleichen. (Hier wäre es dann: (3-1)(4-1)= 6 zu errechnen aus
χp² ≥ χk² , dann kann H0 verworfen werden
Wichtig: Für df > 1 lassen sich keine einseitigen Hypothesen berechnen
der ersten Tabelle
37
Zusammenhangsüberprüfung
Stärke eines
Zusammenhangs:
r!( " !) = $ $
fe
:Kramers V
⇓
V =
Nominale Daten
2
Der Vollständigkeit halber sei C hier
genannt, aber für uns besser
!
Kontingenzkoeffizient
C
Assoziationsmass
(entspricht den
Korrelationsmassen)
( fb # fe )
#2
N " ( N ! L)
Im Prinzip ist genau das Gleiche wie wenn ich Unterschiede darstelle. Entscheidend auch für
!2
oder nicht. Hier
! +n
beschreibe ich, ob es überhaupt einen Zusammenhang gibt oder eben nicht. Dann kann
auch die Art des Zusammenhangs beschrieben werden, wie schon bei der Regression.
χ² ist der errechnete Prüfwert !!!!!!
Auch hier ist die Korrelation direkt von n abhängig.
mit einer Erhöhung von n kann Einfluss auf den Zusammenhang genommen werden.
den Zusammenhang ist, ob das Ergebnis signifikant ist C =
Merke
2
Alle Zusammenhangsmasse sind auch Effektstärken!!!!!!!
χ², ϕ, r, C, V,….
(Beschreibt die Stärke bzw. die
Enge des
Zusammenhangs)
Kramers V
NOTES
38
Poweranalyse für
nominalskalierte
Daten
Der Weg geht auch hier wieder über die
Effektstärke:
Ohne Zwischenergebnisse, mit der Formel nach
Cohen:
W =
m
!
Nominale Daten
i =1
NOTES
( P1i " P0i )
P0i
P0i = Wahrscheinlichkeit unter H0 Element von
Zelle 1 zu sein
P1i = Wahrscheinlichkeit, unter H1 Element von
Zelle i zu sein
Mit Zwischenergebnis:
W =
!2
n
39
