Theorie: • Gemeinsame Verteilungsfunktion von (X, Y ) F(a, b) = P(X

Statistik I für Statistiker, Mathematiker und Informatiker
Gerhard Tutz, Jan Ulbricht
Lösungen zu Blatt 12
WS 05/06
Theorie:
• Gemeinsame Verteilungsfunktion von (X, Y )
F (a, b) = P (X ≤ a, Y ≤ b) = P ({X ≤ a} ∩ {Y ≤ b}), a, b ∈ IR
• Zusammenhang zwischen gemeinsamer Verteilungsfunktion und Verteilungsfunktionen von X und
Y
FX (a) = P (X ≤ a) = P (X ≤ a, Y < ∞) = lim F (a, n)
n→∞
Entsprechend für FY (b) = limn→∞ F (n, b). FX (a) und FY (b) heißen Randverteilungsfunktionen
von (X, Y ).
• X, Y diskret:
– gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
fX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) = P ({X = x} ∩ {Y = y}), x, y ∈ IR
– Randverteilungen:
fX (x) = P (X = x) = P ({X = x} ∩ {Y < ∞})
[
= P(
{X = x, Y = y})
y:fX,Y (x,y)>0
X
=
fX,Y (x, y)
y:fX,Y (x,y)>0
X
fY (y) = P (Y = y) =
fX,Y (x, y)
x:fX,Y (x,y)>0
• X, Y stetig:
– Gemeinsame Verteilungfunktion
Z bZ
P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
d
fX,Y (x, y)dxdy,
a
c
mit fX,Y (x, y) gemeinsame Dichtefunktion
– Randdichte von X
Z
∞
fX (x) =
fX,Y (x, y)dy
−∞
– Randverteilungsfunktion von X
Z
a
FX (a) =
fX (x)dx
−∞
– Analog für Y
• Unabhängigkeit
FX,Y (a, b) = FX (a)FY (b)
äquivalent : fX,Y (a, b) = fX (a)fY (b)
• Kovarianz:
Cov(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y )))
= E(XY ) − E(X)E(Y )
• Korrelationskoeffizient
Cov(X, Y )
p
ρ = ρ(X, Y ) = p
V ar(X) V ar(Y )
– Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unkorreliert, wenn gilt ρ(X, Y ) = 0.
– Sind zwei Zufallsvariablen unabhängig, so sind sie auch unkorreliert, d.h. es gilt ρ(X, Y ) = 0.
• Erwartungswert und Varianz von Linearkombinationen: Sei
X = a1 X1 + . . . an Xn ,
so gilt
E(X) = a1 E(X1 ) + . . . + an E(Xn )
und
V ar(X) =
n
X
a2i V ar(Xi ) + 2
i=1
X
ai aj Cov(Xi , Xj ).
i<j
• bedingte Verteilungen
fX,Y (x, y)
fY (y)
fX,Y (x, y)
fX (x)
FX,Y (x, y)
FY (y)
FX,Y (x, y)
FX (x)
fX|Y (x|y) =
fY |X (y|x) =
FX|Y (x|y) =
FY |X (y|x) =
• bedingte Erwartung (diskret)
X
E(X|Y = y) =
xfX|Y (x|y)
x:fX,Y (x,y)>0
• bedingte Erwartung (stetig)
Z
∞
E(X|Y = y) =
xfX|Y (x|y)dx
−∞
Lösung Aufgabe 60
Aufgabe a)
Aus den Zusatzangaben entnimmt man zunächst
P (X = 1|Y = 3) = 0.4
P (Y = 2|X = 2) = 0.3
P (X = 1, Y = 4) = 0.03.
Mit den gegebenen Randverteilungen fX (x) und fY (y) sowie unter Berechnung von
P (X = 2, Y = 2) = P (Y = 2|X = 2) · P (X = 2) = 0.3 · 0.4 = 0.12
P (X = 1, Y = 3) = P (X = 1|Y = 3) · P (Y = 3) = 0.4 · 0.3 = 0.12
ergibt sich damit die folgende, in einer Kontingenztabelle dargestellte, gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion fXY (x, y):
Y
X
1
0.07
0.03
0.1
1
2
fY (y)
2
0.38
0.12
0.5
3
0.12
0.18
0.3
4
0.03
0.07
0.1
fX (x)
0.6
0.4
1
X und Y sind demnach nicht unabhängig, da zum Beispiel
fXY (1, 1) = 0.07 6= 0.06 = 0.6 · 0.1 = fX (1) · fY (1).
Aufgabe b)
Zur Bestimmung der bedingten Verteilungsfunktion
FY (y|X = 1) =
X
fY (y|X = 1)
yj ≤y
berechnet man zunächst die bedingten Wahrscheinlichkeiten
fY (1|X = 1) =
fY (2|X = 1) =
fY (3|X = 1) =
fY (4|X = 1) =
fXY (1, 1)
fX (1)
fXY (1, 2)
fX (1)
fXY (1, 3)
fX (1)
fXY (1, 4)
fX (1)
0.07
0.6
0.38
=
0.6
0.12
=
0.6
0.03
=
0.6
=
= 0.12
= 0.63
= 0.20
= 0.05.
Daraus erhält man

0,




 0.12,
0.75,
FY (y|X = 1) =


0.95,



1,
y < 1,
1 ≤ y < 2,
2 ≤ y < 3,
3 ≤ y < 4,
y ≥ 4.
Aufgabe c)
Zur Berechnung der Kovarianz
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )
bestimmt man zunächst direkt aus den Randverteilungen von X und Y
X
E(X) =
xfX (x) = 0.6 + 0.8 = 1.4,
x
E(Y ) =
X
yfY (y) = 0.1 + 1 + 0.9 + 0.4 = 2.4.
y
Für E(XY ) erstellt man aufgrund der Abhängigkeit zwischen X und Y zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen Z := XY gemäß
z
fZ (z)
1
0.07
2
0.41
3
0.12
4
0.15
6
0.18
8
0.07
und erhält damit
E(Z) =
X
zfZ (z) = 0.07 + 0.82 + 0.36 + 0.6 + 1.08 + 0.56 = 3.49
z
sowie insgesamt
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 3.49 − 1.4 · 2.4 = 0.13.
Zur Berechnung der Korrelation
ρ(X, Y ) = p
Cov(X, Y )
p
V ar(X) V ar(Y )
bestimmt man zunächst ebenfalls direkt aus den Randverteilungen von X und Y
X
x2 fX (x) = 0.6 + 1.6 = 2.2,
E(X 2 ) =
x
X
2
E(Y ) =
y 2 fY (y) = 0.1 + 2 + 2.7 + 1.6 = 6.4.
y
und erhält daraus über den Verschiebungssatz für die Varianz
V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 2.2 − 1.42 = 0.24
V ar(Y ) = E(Y 2 ) − E(Y )2 = 6.4 − 2.42 = 0.64.
Somit gilt
Cov(X, Y )
0.13
p
√
=√
≡ 0.33,
0.24 0.64
V ar(X) V ar(Y )
ρ(X, Y ) = p
d.h. es liegt eine mittlere positive Korrelation zwischen X und Y vor.
Lösung Aufgabe 61
Aufgabe a)
X ist die tägliche Anzahl an Frauen, Y ist die tägliche Anzahl an Männern, die das Postamt betreten.
Die Gesamtzahl der Kunden ist damit X + Y . Bekannt ist, dass die Gesamtzahl poissonverteilt ist mit
Parameter λ, also
λn
P (X + Y = n) = e−λ , n ≥ 0.
n!
Gesucht ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung P (X = x, Y = y).
Angenommen es kommen n Kunden in das Postamt. Die Wahrscheinlichkeit, dass davon k Frauen sind
ergibt sich mit Hilfe der Binomialverteilung
n k
P (X = k| X + Y = n) =
p (1 − p)n−k , 0 ≤ k ≤ n.
k
Wenn von n Kunden k Frauen sind, dann sind n − k Kunden Männer. Daher gilt
P (X = k| X + Y = n) = P (X = k, Y = n − k| X + Y = n).
Mit Hilfe dieser bedingten Wahrscheinlichkeit können wir nun die gesuchte gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen. Es gilt
P (X = k, Y = n − k| X + Y = n) =
=
P ({X = k, Y = n − k} ∩ {X + Y = n})
P ({X + Y = n})
P ({X = k, Y = n − k)
P ({X + Y = n})
und allgemein für i, j ∈ N0 :
P (X = i, Y = j) = P (X = i, Y = j| X + Y = i + j)P (X + Y = i + j)
i+j i
λi+j
=
p (1 − p)j e−λ
i
(i + j)!
1 −λ
=
e · (pλ)i · ((1 − p)λ)j
i!j!
(pλ)i −(1−p)λ ((1 − p)λ)j
= e−pλ
e
.
i!
j!
Die gemeinsame Verteilung von X und Y entspricht dem Produkt zweier Poisson-Verteilungen.
Aufgabe b)
Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen stochastisch unabhängig, falls gilt
P (X ∈ A, Y ∈ B) = P (X ∈ A)P (X ∈ B),
für alle A, B.
Hier ergibt sich für die Randverteilungen:
P (X = i) = e−pλ
= e−pλ
(pλ)i
i!
X
e−(1−p)λ
j:pY (j)>0
((1 − p)λ)j
j!
(pλ)i
i!
und äquivalent
X
P (Y = i) =
e−pλ
i:pX (i)>0
= e−(1−p)λ
(pλ)i −(1−p)λ ((1 − p)λ)j
e
i!
j!
((1 − p)λ)j
.
j!
Damit gilt
P (X = i)P (Y = j) = e−pλ
(pλ)i −(1−p)λ ((1 − p)λ)j
·e
= P (X = i, Y = j) ∀ i, j ∈ N0 .
i!
j!
X und Y sind damit stochastisch unabhängige Zufallsvariablen.
Aufgabe c)
Gesucht ist
E(X|X + Y = n) =
n
X
k · P (X = k| X + Y = n) =
k=0
n
X
k=0
n k
k·
p (1 − p)n−k = np.
k
Wenn insgesamt n Kunden das Postamt besuchen, dann sind im Mittel np von ihnen Frauen.
Lösung Aufgabe 62
Aufgabe a)
Den Parameter c erhält man über die Normierungsbedingung
Z ∞Z ∞
1=
fXY (x, y)dxdy
−∞
−∞
durch
Z
1 =
c · (x + y + xy)dxdy
1
Z
1 2
1
c·
x + xy + x2 y dy
2
2
0
0
Z 1
1
1
c·
+ y + y dy
2
2
0
1
1 2 1 2 1
c· y+ y + y
2
2
4
0
5
c · =⇒ c = 0.8.
4
0
=
=
=
=
1Z 1
0
1
Wegen c > 0 und 0 ≤ x, y ≤ 1 gilt weiterhin fXY (x, y) ≥ 0.
Aufgabe b)
Für die Randdichte von X gilt für 0 ≤ x ≤ 1
Z ∞
fXY (x, y)dy
fX (x) =
−∞
1
Z
0.8 · (x + y + xy)dy
1 2 1 2 1
= 0.8 · xy + y + y x
2
2
0
3
1
= 0.8 ·
x+
= 0.4 · (3x + 1).
2
2
=
0
Analog erhält man für Y im Bereich 0 ≤ y ≤ 1
Z 1
fY (y) =
0.8 · (x + y + xy)dx
0
1 2 1
1 2
= 0.8 · x + xy + x y
2
2
0
= 0.4 · (3y + 1) = 0.4 · (3x + 1).
Aufgabe c)
Für die bedingte Dichte von X unter der Bedingung Y = y gilt für 0 ≤ x, y ≤ 1
0.8 · (x + y + xy)
x + y + xy
fXY (x, y)
=
=2
.
fY (y)
0.4 · (3y + 1)
3y + 1
fX|Y (x|y) =
Für die bedingte Dichte von Y unter der Bedingung X = x gilt für 0 ≤ x, y ≤ 1
fXY (x, y)
0.8 · (x + y + xy)
x + y + xy
=
=2
.
fX (x)
0.4 · (3x + 1)
3x + 1
fY |X (y|x) =
Aufgabe d)
Für die Kovarianz gilt allgemein
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Mit den zuvor errechneten Dichten erhält man
Z ∞
Z
E(X) =
xfX (x)dx =
1 2 1
3
0.4x(3x + 1)dx = 0.4 x + x
= 0.6
2
−∞
0
0
Z ∞
Z 1
1 2 1
3
= 0.6
E(Y ) =
yfY (y)dy =
0.4y(3y + 1)dy = 0.4 y + y
2
−∞
0
0
Z ∞
Z 1Z 1
E(XY ) =
xyfXY (x, y)dxdy =
xy · 0.8 · (x + y + xy)dxdy
1
−∞
0
0
1Z 1
Z
(x2 y + xy 2 + x2 y 2 )dxdy
Z 1
1 2 2 1 3 2 1
1 3
= 0.8 ·
x y+ x y + x y
dy
3
2
3
0
0
1 2
5 3 1
4
= 0.8 y + y
= 0.8 ·
6
18
9
0
16
=
45
= 0.8 ·
0
0
und daraus
16
Cov(X, Y ) =
−
45
2
3
1
=−
.
5
225
Aufgabe e)
Es gilt:
Z
xZ y
0.8(u + v + uv)dudv =
0
1 2 1 2 v=y
uv + v + v u
du
2
2
0
v=0
Z x
1
1
uy + y 2 + y 2 u du
0.8
2
2
0
1 2 2 u=x
1 2 1 2
0.8 yu + y u + y u
2
2
4
u=0
1 2
1 2 1 2 2
0.8
x y + xy + x y
2
2
4
1
0.4xy x + y + xy .
2
Z
0
=
=
=
=
x
Damit folgt:

0,
für x, y < 0,




 0.4xy(x + y + 21 xy), für x, y ∈ [0, 1],
FX (x),
für x ∈ [0, 1] ∧ y > 1,
F (x, y) =


F
(y),
für y ∈ [0, 1] ∧ x > 1,

Y


1,
für x, y > 1.
Lösung Aufgabe 63
Herleitung des Erwartungswertes:
Es gilt
M N −M
k=0 k k
n−k
N
n
Pn
E(X) =
.
Wir ersetzen X durch X1 + . . . + XM , wobei
1, falls die i -te schwarze Kugel gezogen wird,
i = 1, . . . , M
Xi =
0, sonst,
Aufgrund der Linearitätseigenschaft des Erwartungswertes gilt
E(X) = E(X1 + . . . + XM )
= E(X1 ) + . . . + E(XM ).
Xi ist nach seiner Definition bernoulliverteilt. Es gilt daher
E(Xi ) = P (Xi = 1).
Für die Eintrittswahrscheinlichkeit ergibt sich
1
1
P (Xi = 1) =
=
n
.
N
N −1
n−1
N
n
Begründung: Wenn die i-te Kugel ohne Zurücklegen gezogen wird, dann gibt es für die übrigen n − 1
−1
Kugeln in der Stichprobe vom Umfang n genau N
n−1 Möglichkeiten, diese aus den übrigen N − 1 Kugeln
auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).
Da dies für jede der insgesamt M schwarzen Kugeln gilt, erhält man für den Erwartungswert von X
E(X) = M
n
.
N
Herleitung der Varianz:
Wir wählen denselben Ansatz wie in (i), indem wir X als Summe von M Zufallsvariablen darstellen.
Damit ergibt sich
M
X
V ar(X) = V ar(
Xi )
i=1
=
M
X
V ar(Xi ) +
i=1
M
X
Cov(Xi , Xj ),
(1)
i=1
i6=j
mit
Cov(Xi , Xj ) = E(Xi Xj ) − E(Xi )E(Xj ).
Da Xi bernoulliverteilt ist, erhalten wir
V ar(Xi ) =
n n n(N − n)
1−
=
.
N
N
N2
(2)
Sei Zij := Xi Xj . Die Zufallsvariable Zij ist wieder bernoulliverteilt, da
1, falls die i -te und die j -te schwarze Kugel gezogen werden,
Zij =
i, j = 1, . . . , M, i 6= j
0, sonst,
Es gilt
E(Zij ) = P (Zij = 1) = P ({Xi = 1} ∩ {Xj = 1}) = P (Xi = 1, Xj = 1)
2 N −2
=
=
2
n−2
N
n
n(n − 1)
.
N (N − 1)
Damit erhalten wir
Cov(Xi , Xj ) =
=
n(n − 1)
n2
− 2
N (N − 1) N
n(n − N )
.
N 2 (N − 1)
(3)
Setzen wir (2) und (3) in (1) ein, so erhalten wir
n(N − n)
n(n − N )
+ M (M − 1) 2
2
N
N (N − 1)
2
2
M nN − M n
(M − M )(n2 − N n)
=
+
N2
N 2 (N − 1)
nM (N 2 − nN + M n − M N )
=
N 2 (N − 1)
M
M N −n
= n
1−
.
N
N N −1
V ar(X) = M
Bemerkung: Es sind insgesamt M identische Varianzen und M (M − 1) identische Kovarianzen zu berücksichtigen.
Lösung Aufgabe 64
Aufgabe a)
Für n ≥ 0 gilt
PX+Y (n) = P (X + Y = n)
=
=
Unabh.
=
=
=
n
X
k=0
n
X
k=0
n
X
k=0
n
X
P (X = k, X + Y = n)
P (X = k, Y = n − k)
P (X = k)P (Y = n − k)
λkX −λY λn−k
Y
e
k!
(n − k)!
k=0
n e−(λX +λY ) X n k n−k
λ λ
n!
k X Y
e−λX
k=0
=
e−(λX +λY )
(λX + λY )n .
n!
X + Y ist daher poissonverteilt zum Parameter λX + λY .
Aufgabe b)
Für 0 ≤ k ≤ n gilt
pX|X+Y (k|n)
=
=
=
Unabh.
=
=
=
=
=
P (X = k|X + Y = n)
P (X = k, X + Y = n)
P (X + Y = n)
P (X = k, Y = n − k)
P (X + Y = n)
P (X = k)P (Y = n − k)
P (X + Y = n)
λkX −λY λn−k
n!
Y
e
−(λ
+λ
)
X
Y
k!
(n − k)! e
(λX + λY )n
k n−k
n
λX
λY
k
λX + λY
λX + λY
k n−k
λY
n
λX
λX + λY
λX + λY
k
k n−k
n
λX
λX
1−
k
λX + λY
λX + λY
e−λX
X
Die bedingte Verteilung von X gegeben X +Y ist eine Binomialverteilung zu den Parametern n, λXλ+λ
.
Y
Lösung Aufgabe 65
Theorie:
Seien X und Y zwei unabhängige, stetige Zufallsvariablen. Gesucht sind Verteilungs- und Dichtefunktion
von X + Y .
Z Z
FX+Y (a) = P (X + Y ≤ a)
=
fX,Y (x, y)dxdy
x+y≤a
Z Z
Unabh.
fX (x)fY (y)dxdy
=
Z
∞
x+y≤a
a−y
Z
=
Z−∞
∞
fX (x)dx fY (y)dy
−∞
FX (a − y)fY (y)dy
=
−∞
=⇒ fX+Y (a) =
d
FX+Y (a)
da
Z ∞
d
FX (a − y)fY (y)dy
da −∞
Z ∞
d
FX (a − y)fY (y)dy
−∞ da
Z ∞
fX (a − y)fY (y)dy
=
=
=
−∞
Bemerkung: fX+Y (a) wird auch als Faltungsdichte von X und Y bezeichnet.
Zur eigentlichen Aufgabe:
Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist gegeben als
λe−λx , x ≥ 0,
fX (x) =
0,
sonst.
Damit ergibt sich
∞
Z
fX (x − y)fY (y)dy,
fX+Y (x) =
x>0
Z−∞
x
λe−λ(x−y) λe−λy dy
0
Z x
2 −λx
dy
= λ e
=
0
2 −λx
= λ e
fX+Y (x) = 0,
Z
x
x<0
x
fX+Y (x − y)fZ (y)dy,
fX+Y +Z (x) =
Z0 x
x>0
λ2 (x − y)e−λ(x−y) λe−λy dy
0
Z x
= λ3 e−λx
(x − y)dy
0
1 2 x
3 −λx
= λ e
xy − y
2
0
=
x2
,
2
x<0
= λ3 e−λx
fX+Y +Z (x) = 0,
x≥0
Alternative Darstellung führt zu
(
fX+Y +Z (x) =
wobei
Z
Γ(s) =
∞
3−1
λe−λx (λx)
Γ(3) , x ≥ 0,
0,
sonst,
e−t ts−1 dt,
s>0
0
die sog. Gammafunktion als Verallgemeinerung der Fakultät auf beliebige positive reelle Zahlen darstellt.
Definition: Eine Zufallsvariable X heißt Gamma-verteilt“ zu den Parametern (s, λ), wenn X die Dichte
”
(
s−1
λe−λx (λx)
Γ(s) , x ≥ 0,
f (x) =
0,
sonst,
besitzt.
In der Aufgabe ist X + Y + Z Gamma-verteilt zu den Parametern (3, λ).