Identifikation bei Rekursiven vs

Nagl, Modelle mit latenten Variablen, Identifikation von nichtrekursiven und rekursiven Systemen
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Identifikation bei rekursiven und nichtrekursiven Gleichungssystemen
Bei folgenden Überlegungen wird vorausgesetzt, dass die Varianzen und Kovarianzen der latenten Variablen
bereits eindeutig berechnet werden konnten. Nun soll in einem zweiten Schritt die Identifikation der Strukturgleichungen untersucht werden.
Die Identifikation der Gleichungssysteme bedeutet wiederum: Auf Grund der Varianzen und Kovarianzen der
Variablen sollen die Parameter des Modells (d.h. ,  und ) eindeutig bestimmt werden können. Dabei werden zwei ‚Idealtypen’ von Gleichungssystemen unterschieden, das ‚rekursive’ und ‚nicht-rekursive’. Das rekursive System hat dabei einen sehr einfachen Aufbau der Abhängigkeiten (im Gegensatz zum nicht-rekursiven).
Rekursive Gleichungs-Systeme
Die Klassische Definition der rekursiven Strukturgleichungen setzt voraus, dass alle Störgrößen der Gleichungen () unkorreliert sind (das wird auch bei der ‚klassischen’ Pfadanalyse angenommen), d.h.  ist eine Diagonalmatrix.
Zudem gilt: Die Koeffizientenmatrix B der endogenen Variablen selbst lassen sich in die Form einer Dreiecksmatrix bringen: ( ( ij  0, für i  j) .
Beispiel:
11
11
1
1
1
21
1
21
31
22
2
2
12
2
1
22
32
32
31
3
33
3
1
1 
 2   211
 3   311
  32  2
In Matrixschreibweise:
0
 1   0
   
 2   21 0
3  31 32
  111
  211
  12  2
  22  2
  311
  32  2
 1
  2 und Var() =  =
 3
0
 11
 0 
22

 0
0
0  1   11 12 
0
 1 
 0
 
0 2    21  22   1    2  , mit B   21 0

 31  32
0 3    31  32   2   3 
0 
0  .
 33 
0
0 .
0
Die rekursiven Systeme sind Folgen von Einzelgleichungen, bei denen sukzessive immer weitere ‚erklärende’
Variablen dazukommen. Rekursive Systeme sind identifizierbar, da sie immer im Sinne einer Serie mehrerer
Regressionsgleichungen eindeutig berechnet werden können.
Man spricht auch dann von rekursiven Systemen, wenn zusätzlich manche Koeffizienten auf 0 restringiert werden, die von der Struktur her von 0 verschieden sein dürften. Beachtenswert ist aber, dass diese Struktur keine
Rückkoppelungsbeziehungen ermöglicht.
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Nichtrekursive Gleichungssysteme
Beispiele:
1
1
11
22
1
1
1
1
12
1
21
12
1
12
2
11
21
12
2
2
1
2
23
32
2
1
2
32
3
13
3
1
Die Störgrößen dürfen hier korrelieren: für keine Korrelation wird eine Restriktion auf 0 vorausgesetzt. Zudem
können die Effekte eventuell ‚Rückkoppelungen’ enthalten. Das ist gegenüber rein rekursiven Systemen eine
erhebliche Erweiterung. Diese Erweiterung erfordert allerdings zusätzliche Forderungen an die Modellparameter.
m
Allgemeine Charakterisierung:
m 
Strukturform der Gleichungen: =  +  + 
Reduzierte Form der Gleichungen:
  =   + e,
=



n


+
(I -)  =  + 
 = A-1  + A-1,

+

mit A := I -.
mit: := A-1 und e := A-1.
Die reduzierte Form mit den Regressionskoeffizienten  ist immer eindeutig lösbar. Die Störgrößen e seien
multivariat (normal-)verteilt; die Varianz-Kovarianz-Matrix der der Störgrößen (=e) ist nicht restringiert (die
reduzierte Form entspricht einer multiplen multivariaten Regression, die  -Koeffizienten sind die eindeutig
berechenbaren Regressionskoeffizienten).
Die Koeffizientenmatrix ist aber nur als Zwischenergebnis interessant. Aus dieser Matrix sollen in einem zweiten Schritt die beiden Matrizen  und  errechnet werden. Das ist nur dann möglich, wenn einige Restriktionen
eingeführt werden.
OBdA soll die Lösung für die 1. Gleichung betrachtet werden.
Die Elemente der Gleichungen werden so umgruppiert, dass alle endogenen Variablen, die nicht in der 1. Gleichung vorkommen als erste geschrieben werden (daher sind die entsprechenden Koeffizienten 0). Auch die exogenen Variablen werden so umgruppiert, dass die nicht in der 1. Gleichung vorkommenden exogenen Variablen
als erste stehen (daher sind die entsprechenden Koeffizienten 0).
m
n
n
0
n1
m0 m1
Allgemein: (I -)  =  +  bzw. A  =  + 
mit A:= (I -).
0’
0’ ’
’

m
A0
A1
m0: Anzahl der endogenen Variablen, die nicht in der 1. Gleichung vorkommen.
m1: Anzahl der endogenen Variablen, die in der 1. Gleichung vorkommen.
n0: Anzahl der exogenen Variablen, die nicht in der 1. Gleichung vorkommen.
=

0 1
+

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m
Mit dieser Bezeichnung gilt: := A-1.
bzw. A := 
entsprechend strukturiert:
Seite 3
n
m0
m1
0’
’
A0
A1
m
m1
n
n0
n1
*
*
0 1
’ 0 =
’ 1 =
daraus folgen die beiden Gleichungen:
=
n0
n1
0’
’
0
1
0’
’
Die Gleichungen können genau dann eindeutig gelöst werden (d.h.  und  eindeutig berechnet werden), wenn
der Rang von 0 gleich m1-1 ist (eine nur notwendige Bedingung der Identifikation ist: n0 >= (m1-1)).
Denn: OBdA kann vorausgesetzt werden, dass 1=1 ist (Wegen der Struktur von A=(I-B)), d.h.
α   1 α 0 
So kann 0 als aus 2 Teilen bestehend gesehen werden (als 1. Zeile: ’ und als restliche m1-1 Zeilen 00:
 π 
Π0  
 ). Die Gleichungen ’ 0 = 0’ lauten nun: π  α 0 Π 00  0 bzw. α0 Π 00  π .
Π
 00 

α 0 Π 00  π ist ein inhomogenes System von m1-1 Gleichungen in den m1-1 unbekannten: 0. Das inhomogene Gleichungssystem kann genau dann eindeutig gelöst werden, wenn der Rang von 00 gleich (m1-1) ist.
Zudem hat 0 ebenfalls den Rang (m1-1), da die erste Zeile ja eine Linearkombination aus den restlichen Zeilen
ist. Das setzt voraus, dass n0 >= (m1-1) ist. Ist  bekannt, kann  mit der Gleichung ’ 1 = ’ berechnet werden. Qed.
Bedingung für die strukturelle Form (Ökonometrie-Identifikationssatz):
Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Identifikation der 1. Gleichung ist, dass der Rang der zusammengesetzten Matrix: A0, 0 (= Rang(A0, 0)) gleich m -1 ist.
m0
0’
Beweis:
m
n0
m0
0’
A-1
=
A0
0
n0
m0
I
*
m1
0
0
Der Rang der Matrix (A0, 0) = m0 + Rang(0). Laut Identifikationsbedingung für die reduzierte Form ist der
Rang(0) = (m1- 1). Daher ist der Rang von (A0, 0) = m0 + (m1- 1) = m-1. qed.
n
n0
Überlegungen zur Definition der Teilmatrizen:
Zum rechten Teil (Spalten mit 0):
*
A
Das Produkt A  =  wurde bereits oben formuliert (hier ohne die Strukturierung von A):
n
n0
n1
*
m1 0 1
0’
n1
’
0
1
=
n
n0
Danach mit der Inversen A-1 von links multiplizieren; Ablesen der Teile liefert die Gleichheit der
Teile für 0 mit Hilfe von 0 , wie oben formuliert.
.
*
n
n0
n1
*
m1 0 1
=
0’
n1
’
0
1
A-1
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Zum linken Teil (Spalten mit I und 0):
Seite 4
m
Die Matrix A wurde ebenfalls partitioniert. Mit
der Inversen vormultipliziert ergibt als Produkt
die Einheitsmatrix, die aber entsprechend A
partitioniert werden kann. Das veranschaulicht
die Darstellung im linken Teil der Matrix.
.
A-1
m0
m1
0’
’
I
0
0
I
=
m
A0
A1
Beispiel (Identifikation der Parameter in simultanem Gleichungssystem mit 3 endogenen Variablen):
11
1
1
1
1
12
12
21
12
2
2
1
32
32
2
13
23
3
3
1
Als einzelne Gleichungen geschrieben:
1  12  2
 2   211
  111
 3   32  2
  32  2
1
  211
12  2
 2
  32  2
 1
 2
1 
12  2
oder  2   211
3 
 32  2
 3
  111

3

In Matrixschreibweise:
 12 0  1   11
 1
 
1
0  2    0
 21
 0
  32 1  3   0
 32  2
  111
 1
 2
  32  2
oder
 3
 1
2 .
 3

 1 
 12 0
 1
 11 0 
  1     mit A   
1
0 und Γ   0
0 .
2


21
 
 
 0



2

  32 1
 3 
 32 

 0  32 
0
0
Zur Identifikation der 1. Gleichung: In der A-Matrix werden die Spalten gesucht, die in der 1. Zeile eine Null
 Null 
 Null 
0 
 0 


haben:  0  . Daher ist A 0    . In der -Matrix ebenfalls:  0  . Daher ist Γ 0    . Die Matrix
1 
  32 
 1 
  32 
A 0 , Γ 0   
0 0 
 . Sie hat aber nur einen Rang von 1. Daher ist die erste Gleichung nicht identifiziert.
1  32 
Zur Identifikation der 2. Gleichung: In der A-Matrix werden die Spalten gesucht, die in der 2. Zeile eine Null
0 
 0 
  11
0 
  11 0 



haben:  Null  . Daher ist A 0    . In der -Matrix ebenfalls:  Null Null  . Daher ist Γ 0  
.
1
0  32 


 32 
 1 
 0
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0  11
Die Matrix A 0 , Γ 0   
1 0
Gleichung identifiziert.
Seite 5
0 
. Sie hat einen Rang von 2, falls 11 nicht 0 ist. Daher ist die zweite
 32 
Zur Identifikation der 3. Gleichung: In der A-Matrix werden die Spalten gesucht, die in der 3. Zeile eine Null
 1 
  11 
 1 
haben:   21  . Daher ist. A 0  
 und entsprechend Γ 0   0  . Der Rang von


 
 21 
 Null 
A 0 , Γ 0   
1
  21
 11 
ist gleich 2. Daher ist die 3. Gleichung identifiziert.
0 
Beispiel: (Identifikation der Parameter in simultanem Gleichungssystem mit2 endogenen Variablen):
1
11
1
12
12
2
1
1
21
22
12
2
2
1
Die Anzahl der endogenen Variablen = Anzahl der Gleichungen = m = 2.
Als einzelne Gleichungen geschrieben:
1
2
 12  2
  211
  111
  22  2
1
 2
oder
1
  211
12  2
 2
  111
  22  2
 1
 2
In Matrixschreibweise:
 12   1    11
 1

 
1   2   0
 21
0   1   1 
 1
   mit A  



 22   2   2 
  21
 12 

und Γ   11

1 
 0
0 
.
 22 
Zur Identifikation der 1. Gleichung: In der A-Matrix werden die Spalten gesucht, die in der 1. Zeile eine Null
haben; solche Spalten gibt es hier nicht. In der -Matrix werden ebenfalls die Spalten gesucht, die in der 1. Zeile
 Null 
eine Null haben: 
 . Daher ist Γ 0   22  . Die Matrix A 0 , Γ 0    22  .
  22 
Diese Matrix hat aber einen Rang von 1 (falls 22 ≠ 0); das ist m - 1 = 1. Daher ist die erste Gleichung identifiziert.
Zur Identifikation der 2. Gleichung: In der A-Matrix werden die Spalten gesucht, die in der 2. Zeile eine 0 haben. Daher ist A 0 wiederum leer.
  11 
Nun werden in der -Matrix die Null-Position in der 2. Zeile gesucht: 
 . Daher ist Γ 0   11  . Die
 Null 
Matrix A 0 , Γ 0    11  . Sie hat einen Rang von 1, falls 11 nicht 0 ist. Daher ist auch die zweite Gleichung
identifiziert.
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 1 0.5 0.25
 1  0.8 0
2 0
10 5 
 0.6 1 0 , Γ  0 0 .
Beispiel-Anhang: Sei  =  0.5 1 0.5  , Φ  
,
A

(
I

B
)

0.25 0.5 1 
 0
0 1 
 5 10
0.7 1





10
1
1
2
1
1
1
0.8
0.6
1 0.5
0
2
2
5
0.25
1
-0.7
10
2
1
0.5
1
3
3
1
Auf Grund der Gleichung für  = A-1  + A-1 können die Varianzen und Kovarianzen nach den folgenden
Formeln berechnet werden:
 Φ

ξ 
ΦΓ A  1
Var(   ) =  1
 , mit Var()= und A:= I-B.

1

1
A ΓΦ A (ΓΦΓ   Φ) A  
 η
PROC IML;
psi={1 0.5 0.25, 0.5 1 0.5, 0.25 0.5 1};
phi={10 5,5 10};A={1 -0.8 0, -0.6 1 0, 0 0.7 1}; gamma={2 0,0 0,0 1};
vareta=A**(-1)*(gamma*phi*gamma`+psi)*(A**(-1))`;
covxieta=phi*gamma`*(a**(-1))`;
covxy=(phi||covxieta)//(covxieta`||vareta);
print covxy;
quit;
Das Ergebnis der der Varianzen bzw. Kovarianzen ist:
xi1
xi2
eta1
eta2
eta3
xi1
10.000
5.000
38.462
23.077
-11.154
xi2
5.000
10.000
19.231
11.538
1.923
eta1
38.462
19.231
156.953
96.672
-47.189
eta2
23.077
11.538
96.672
60.503
-29.564
eta3
-11.154
1.923
-47.189
-29.564
22.743
Mit Hilfe eines Programms (CALIS) wurden auf Grund der Varianzen und Kovarianzen nun die Parameter geschätzt. Frage: Welche Schätzer entsprechen den vorgegebenen Parametern, welche nicht?
data cmat(type=cov);_type_='cov';input _name_ $
cards;
xi1
10
5 38.461538 23.076923
xi2
5
10 19.230769 11.538462
eta1
38.461538 19.230769 156.95266 96.671598
eta2
23.076923 11.538462 96.671598 60.502959
eta3
-11.15385 1.9230769 -47.18935 -29.56361
;
proc calis cov data=cmat omethod=nr edf=100 se;
title3 "Model-Beispiel, Startwerte 1";
lineqs
eta1= b12 (0.8) eta2+ g11 (2) xi1 +
eta2= b21 (0.7) eta1
+
eta3= b32 (0.9) eta2 + g32 xi2
+
std
cov
e1-e3=psi1-psi3 (3 * 1);
e1 e2=psi12 (.2),
e1 e3=psi13 (.2 ),
e2 e3=psi23 (.2 )
; run;
xi1 xi2 eta1 eta2 eta3;
-11.15385
1.9230769
-47.18935
-29.56361
22.74260
e1,
e2,
e3;
Nagl, Modelle mit latenten Variablen, Identifikation von nichtrekursiven und rekursiven Systemen
eta1
=
Std Err
eta2
=
Std Err
eta3
=
Std Err
1.0181*eta2
0.0148 b12
0.6000*eta1
0.00822 b21
-0.7000*eta2
0.0153 b32
+
1.4966*xi1
0.0358 g11
+
1.0000*xi2
0.0316 g32
+
1.0000 e1
+
1.0000 e2
+
1.0000 e3
Variances and Covariances of Exogenous Variables
Variable Parameter
Schätzwerte
xi1
phi11
10.00000
xi2
phi12 phi22
5
10.00000
e1
e2
e3
psi1
psi12
psi13
psi2
psi23
0.42203
-0.04532
-0.02266
psi3
1.00000
0.50000 1.00000
Anpassungs-chi**2 = 0 (optimal!)
Hier mit anderen Startwerten:
proc calis cov data=cmat omethod=nr edf=100 se;
title3 "Model-Beispiel, Startwerte 2";
lineqs
eta1= b12 (0.2) eta2 + g11 (2) xi1 + e1,
eta2= b21 (0.7) eta1
+ e2,
eta3= b32 (0.9) eta2 + g32 xi2
+ e3;
std
cov
e1-e3=psi1-psi3 (3 * 3.);
e1 e2=psi12 (.2),
e1 e3=psi13 (.3 ),
e2 e3=psi23 (.5 )
; run;
eta1
= -2.1722*eta2
Std Err
0.2320 b12
eta2
=
0.6000*eta1
Std Err
0.00822 b21
eta3
= -0.7000*eta2
Std Err
0.0153 b32
+
+
8.8589*xi1
0.6036 g11
1.0000*xi2
0.0316 g32
Varianzen und Kovarianzen:
Variable Parameter
x1
phi11
x2
phi12 phi22
e1
e2
e3
psi1
psi12
psi13
psi2
psi23
+
1.0000 e1
+
1.0000 e2
+
1.0000 e3
Schätzwerte
10.00000
5
10.00000
77.60790
7.93050
3.96529
psi3
1.00000
0.50000 1.00000
Anpassungs-chi**2 = 0 (optimal!)
10
1
8.86
77.6
1
1
1
-2.17
0.6
2
2
5
1 7.9
3.96
1
-0.7
10
2
1
3
0.5
1
3
1
Seite 7
Nagl, Modelle mit latenten Variablen, Identifikation von nichtrekursiven und rekursiven Systemen
Seite 8
Identifikation blockrekursiver Systeme
Das Konzept der ‚blockrekursiven Systeme’ wurde von STROTZ and WOLD (1960) eingeführt als Synthese zwischen rekursiven und nichtrekursiven Systemen.
Dabei werden endogene Variablen genau dann zu Gruppen (=Blöcke) zusammengefasst, wenn zwischen ihnen
nichtrekursive Beziehungen (Rückkoppelung oder Korrelation der Störgrößen) existieren.
Falls mehrere Blöcke (mit nichtrekursiven Beziehungen zwischen den Variablen) existieren, sind die Beziehungen zwischen den Blöcken rekursiv.
Da rekursive Systeme immer identifiziert sind, ist daher nur noch die Identifikation innerhalb der Blöcke zu
untersuchen. Sind alle Blöcke identifiziert, so ist das Gesamtsystem identifiziert.
Für die Identifikation der Gleichungen eines Blockes sind jeweils nur die innerhalb eines Blockes durch die
Gleichungen ‚determinierten’ Variablen als blockspezifisch endogen anzusehen (alle andern Variablen können
als blockspezifisch exogen betrachtet werden).
Beispiele: Die obigen Systeme können nicht in rekursive Blöcke unterteilt werden, weil die
Störgrößen kovariieren.
Bbr2
11
1
1
1
21 31
12
2
2
2
1
2
1
32
32
1
3
3
1
Block 2
Block 1
1
21
2
2
31
CRONIN UND TAYLOR (1992) haben
das (identifizierte) Dreigleichungsmodell geschätzt.
1
1
12
1
32
3
3
1
Block 2
Bbr3
Block 1
12 12
Da hier die Störgrößen nur teilweise kovariieren, kann das System in
zwei nichtrekursive Blöcke unterteilt werden, die selbst rekursiv
sind (Das Modell ist nicht identifiziert). Es ist mit den gestrichelten
Pfeilen bekannt geworden als
DUNCANs Modell (1975)
Bbr1
1
11
Das von RIGDON modifizierte Modell von ANDERSON J.G. (1978) ist identifizierbar
Block 1
11
1
12
23
1
1
12
2
23
3
22
1
1
51
4
31
43
3
12
2
2
Block 3
Block 2
32
3
1
33
4
52
54
45
1
5
5
1
45
Nagl, Modelle mit latenten Variablen, Identifikation von nichtrekursiven und rekursiven Systemen
Seite 9
Der Vorteil der Betrachtung blockrekursiver Systeme besteht darin, dass dadurch relativ komplexe Systeme in
einfachere zerlegt werden können. RIGDON E. (1995) hat für den Fall, dass die Blöcke nicht mehr als 2 blockendogene Variablen enthalten, sogar notwendige und hinreichende Bedingungen der Identifikation von strukturellen Gleichungssystemen eingeführt.
RIGDON’s vollständige Charakterisierung von Blöcken mit zwei blockendogenen Variablen.
Identifiziert
Nicht identifiziert
Fall 1
Fall 2
2
1
Fall 3
1
2
1
2
Fall 4
2
1
Fall 5
Fall 6
2
1
2
1
entweder
entweder
ODER
ODER
Fall 7
Fall 8 Neuklassifikation (gleiche Prädiktoren für Endogene V.)
2
1
1
2
BEIDE
In dieser schematischen Darstellung der Systeme wurden keine Symbole für die Störgrößen eingezeichnet. Konstrukte und Beziehungen, die
für die Identifikation irrelevant sind, wurden mit gestrichelten Linien gezeichnet.
Begründungen der Fälle.
Zu Fall 1.) ‚Null-B-Regel’: strukturelle Modelle, bei denen kein Beta-Effekt-Koeffizient vorhanden ist, sind
identifiziert.
Begründung: Die Gleichungssysteme (ohne eine exogene Variable) sind
1
2
 1
. Als Bekannt vorausge 2
setzt werden darf die Matrix der Varianzen und Kovarianzen der Etas (Var(1), Cov(1,2), Var(2) ) ; gesucht
sind die Unbekannten Varianzen und Kovarianz zwischen den Störgrößen (11, 12, 22). Auf Grund der Berechnung der Varianz- Kovarianzmatrix der Variablen (ausgedrückt in Modellparametern) ergibt sich die folCov (1 ,  2 )  11  12 
 Var (1 )

gende Matrixgleichung: 
, aus der alle Parameter des Modells beCov
(

,

)
Var (1 )   12  22 
1
2

rechnet werden können: (11, 12, 22).
Nagl, Modelle mit latenten Variablen, Identifikation von nichtrekursiven und rekursiven Systemen
Seite 10
Zu Fall 2.)
Die erste Begründung kann auf dem Ökonometrie-Identifikationssatz aufbauen. Die Gleichungen sind:
1 
1
0
 1
, in Matrixform: A  
 . Die erste Gleichung ist dabei identifiziert, die 2. aber
 2   211   2
  21 1
nicht (sie würde auch nicht identifiziert werden, wenn zusätzliche xi-Variablen als Prädiktoren für 2 hinzukämen).
Die zweite Begründung kann auf der Berechnung der Varianzen und Kovarianzen der eta’s aufbauen:
 12   21 11
Var (1 ) Cov (1 ,  2 )  11

 
     2   2     . Nun müssten die Parameter des Modells auf
Var
(

)
2
21 11
21 12
22 

 
Grund dieser 3 Gleichungen (wegen der Symmetrie sind es nur 3 verschiedene Gleichungen) berechnet werden können. Da aber 4 Parameter (11, 12, 22 und 21) berechnet
werden sollten, ist keine eindeutige Lösung dieser Gleichungen möglich. Daher ist das
Modell nicht identifiziert.
1
1
1
12
2
1
21
2
1 12
Inwiefern könnte ein Effekt einer xi-Variable auf die Ziel-Variable 2 die Identifikationsmöglichkeiten verbessern? Eine zusätzliche Variable erhöht die Anzahl der Kovarianzen:
0
 12 11
Var (1 ) Cov (1 , 1 ) Cov (1 ,  2 )  11

 


.
Var (1 )
Cov (1 ,  2 )     11
12   21 11


 

Var ( 2 )   
  221 11  2 21 12   22 
Man sieht, dass die Hinzunahme einer xi-Variable keine Gleichungen liefert, die die ursprünglichen Parameter
identifizieren helfen. Durch die Hinzunahme können gerade die zusätzlichen Parameter (11, 12). Verantwortlich
dafür ist die Tatsache, dass die Kovarianz zwischen 1 und 1 gleich 0 ist; diese Gleichung liefer so keine zusätzlichen Informationen.
Zu Fall 3.)
Die erste Begründung kann auf dem Ökonometrie-Identifikationssatz aufbauen. Die Gleichungen sind:
1   111   1
0
  11 
 1
, in Matrixform: A  
 und    0  . Die erste Glei 2   211   2


1
 
 21

chung ist dabei identifiziert, die 2. ebenfalls, falls 11 nicht 0 ist.
1
1
1
12
2
1
21
11
2
1
Die direkte Untersuchung der Varianzen und Kovarianzen liefert 6 Gleichungen in 6 Unbekannten:
 1111
 21  1111
Var (1 ) Cov (1 , 1 ) Cov (1 ,  2 )  11

 
    2  

2
Var
(

)
Cov
(

,

)

(




)


1
1
2 
11 11
11
21 11 11
11
12



2
 

Var ( 2 )   

 221 (  11
11   11 )  2 21 12   22 
Die Lösungen für die Parameter auf Grund der Gleichungen sind:
 11

 12

Cov (1, 1 ) 2
Var (1 ) 

12  
Var (1 )

 22  
Var (1 )Cov (1, 2 )
Cov (1, 2 ) 
Cov (1, 1 )

11  Var (1 ),
11 
Cov (1, 1 )
,
Var (1 )
21 

Var (1 )Cov (1, 2 )

Cov (1, 1 )

Cov (1, 2 ) 2 Var (1 )  2Cov (1, 1 )Cov (1, 2 )Cov (2 , 1 ) 
Var (2 ) 

Cov (1, 1 ) 2

Cov (1, 2 )
.
Cov (1, 1 )
Cov (1, 2 ) 
Nagl, Modelle mit latenten Variablen, Identifikation von nichtrekursiven und rekursiven Systemen
Zu Fall 5.)
Mit dem Ökonometrie-Identifikationssatz kann hier nicht begründet werden. Denn dort
wird Kovarianz der Störgrößen zugelassen. Daher würde nur eine hinreichende, aber
keine notwendige Begründung für die Identifikation geliefert werden.
Seite 11
1
2
1
1
21
2
12
1
11
1
Die direkte Untersuchung der Varianzen und Kovarianzen liefert 6 Gleichungen in 6 Unbekannten:


 1111
 21  1111
11

1   2112
1   2112


Var (1 ) Cov (1 , 1 ) Cov (1 ,  2 )  
2
2
2
 1111   11  12  22  21 (  1111   11 )  12  22 
 

Var (1 )
Cov (1 ,  2 )   

2
2


(
1



)
(
1



)
21
12
21
12
 

Var ( 2 )  

2
2

(




)


21 11 11
11
22 
 



(1   2112 ) 2
Die Lösungen für die Parameter auf Grund der Gleichungen sind:
 11 
Var ( 2 )Cov (1 , 1 ) 2  2Cov (1 , 1 )Cov (1 ,  2 )Cov (1 ,  2 )  Cov (1 ,  2 ) 2 Var (1 )
Var (1 )( Cov (1 , 1 )Var ( 2 )  Cov (1 ,  2 )Cov (1 ,  2 ))
12 
Cov (1 , 1 )Cov (1 ,  2 )  Var (1 )Cov (1 ,  2 )
,
Var ( 2 )Cov (1 , 1 )  Cov (1 ,  2 )Cov (1 ,  2 )
 21 
Cov (1 ,  2 )
,
Cov (1 , 1 )
11  Var (1 ),
 22 
Var ( 2 )Cov (1 , 1 ) 2  2Cov (1 , 1 )Cov (1 ,  2 )Cov (1 ,  2 )  Cov (1 ,  2 ) 2 Var (1 )
Cov (1 , 1 )
 11  sehr komplizier ter Ausdruck!!
2
1
Das Hinzufügen einer 2. xi-Variablen.
1
Durch das Hinzufügen einer zusätzlichen xi-Variablen, die einerseits mit der 1. xiVariablen korreliert und andererseits einen Effekt auf die 2. Eta-Variable hat, erhöht
sich die Zahl der Gleichungen auf 10 (4 Varianzen und 6 Kovarianzen). Die Anzahl
der Parameter erhöht sich auf 9 (  11 ,  22 , 11 , 12 ,  22 , 12 ,  21 , 11 ,  22 ).
1
11
1
1
21
2
12
22
12
2
Hier liegt die Situation vor, in der weniger Parameter als Gleichungen vorhanden sind
(ÜBER-identifiziertes System):
Var (1 ) Cov (1 ,  2 ) Cov (1 , 1 ) Cov (1 ,  2 ) 
 
Var ( 2 )
Cov ( 2 , 1 ) Cov ( 2 ,  2 )


 

Var (1 )
Cov (1 ,  2 ) 




Var ( 2 ) 
 
 1111  12  22 12

11 12
1   2112

 1112  12  22  22
  
22

1   2112



2
2
 11
11   11  12
( 22   222 11 )  2  1112  22 12
 


(1   2112 ) 2

 




 21  1111   22 12
1   2112
 21  1112   22  22
1   2112
2
  21 (  11
11   11 ) 






2
 22  22


 12 ( 22   22  222 )  12 21  11  22 12


(1   2112 ) 2

2
2
2
 21 (  1111   11 )   22   22  22  2 11 21  22 12 

(1   2112 ) 2

Nagl, Modelle mit latenten Variablen, Identifikation von nichtrekursiven und rekursiven Systemen
Seite 12
Bei 10 Gleichungen für 9 Parameter genügen 9 Gleichungen. Im vorliegenden Fall sind die Gleichungen eindeutig lösbar, wenn bestimmte Gleichungen weggelassen werden, also etwa:
a.) die Gleichung für Var (1 ) ,
b.) die Gleichung für Var ( 2 ) oder
c.) die Gleichung für Cov (1 ,  2 ) .
Im vorliegenden Fall erhält man für 5 Parameter jeweils die gleichen Lösungen, egal welcher der obigen StreiCov ( 2 ,  2 )Cov (1 , 1 )  Cov ( 2 , 1 )Cov (1 ,  2 )
 11 
Var (1 )Cov ( 2 , 1 )  Cov (1 , 1 )Cov (1 ,  2 )
 22 
chungsvorschläge befolgt wird: 12 
 21 
Cov ( 2 ,  2 )Cov (1 , 1 )  Cov ( 2 , 1 )Cov (1 ,  2 )
Cov (1 ,  2 )Cov ( 2 , 1 )  Cov (1 , 1 )Var ( 2 )
Var (1 )Cov ( 2 , 1 )  Cov (1 , 1 )Cov (1 ,  2 )
,
Var (1 )Cov ( 2 ,  2 )  Cov (1 ,  2 )Cov (1 ,  2 )
Cov (1 ,  2 )Cov ( 2 ,  2 )  Cov (1 ,  2 )Var ( 2 )
,
Cov (1 ,  2 )Cov ( 2 , 1 )  Cov (1 , 1 )Var ( 2 )
11  Var (1 ), 12  Cov (1 ,  2 ),  22  Var ( 2 )
Für die restlichen Parameter  11 ,  22 entstehen sehr komplizierte Ausdrücke, die zudem auch nicht alle die
gleichen Lösungen haben, falls es sich um Gleichungen handelt, mit deren Hilfe die Parameter geschätzt werden
sollen.
12
Nagl, Modelle mit latenten Variablen, Identifikation von nichtrekursiven und rekursiven Systemen
Seite 13
Identifikation erweitert-rekursiver Modelle
Die üblichen rekursiven Modelle sind so definiert, dass auch die Störgrößen nicht korrelieren. Unter erweitertrekursiven Modellen sollen diejenigen verstanden werden, bei denen die gerichteten Pfade zwar eine rekursive
Struktur bilden (und die Koeffizienten daher in Form einer Dreiecksmatrix dargestellt werden können) wie beim
üblichen rekursiven Modell: zusätzlich dürfen aber die Störgrößen korrelieren. (Formal: Die Koeffizientenmatrix
B der endogenen Variablen selbst lassen sich in die Form einer Dreiecksmatrix bringen: ( ij  0, für i  j) .
Manche Störgrößen der Gleichungen () können korrelieren).
Diese erweitert-rekursiven Modelle sind i.a. nicht identifizierbar. Für eine Teilmenge dieser Modelle (die bogenfreien Modelle) haben BRITO C. & PEARL J. (2002) eine hinreichende Bedingung der Identifikation gefunden
und bewiesen.
Bogenfreie Modelle sind solche, bei denen kein Paar von Variablen durch einen direkten Pfadkoeffizienten
verbunden sind, wenn gleichzeitig ihre Störgrößen korrelieren. In bogenfreien Modellen gilt: falls zwei Störgrößen i und j korrelieren, d.h. (ij ≠ 0), dann ist der entsprechende Koeffizient 0 (ij = 0 und ji= 0) (bzw. umgekehrt); der Strukturkoeffizient und die Korrelation dürfen nicht zugleich von null verschieden sein.
Modell mit Bogen
1
1
1
12
21
Bogenfreies Modell: M3
13
2
1
2
1
1
1
2
1
21
2
3
32
1
3
Beispiel M3:
Die direkte Untersuchung der Varianzen und Kovarianzen für M3 liefert 6 Gleichungen in 6 Unbekannten:
 21 11
Var (1 ) Cov (1 ,  2 ) Cov (1 ,  3 )   11
 


2
Var ( 2 )
Cov ( 2 ,  3 )     21 11   22

 

Var ( 3 )   

 21 11 32   13
2
( 21 11   22 ) 32   2113
2
2
 221 32
11  2 21 32  13   32
 22



  33 
Auf Grund der ersten 3 Gleichungen (links oben):
11  Var (1 ),  21  Cov(1 , 2 ) / 11 ,  22  Var (2 )   22111.
Aus den Gleichungen Cov(1 , 3 )   2111 32  13 und Cov(2 , 3 )  ( 22111   22 ) 32   2113
folgt:
Cov ( 2 ,  3 )   21Cov (1 ,  3 )
,  13  Cov (1 ,  3 )   32 Cov (1 ,  2 ) . Aus der letzten Gleichung kann
Var ( 2 )   21Cov (1 ,  2 )
33 berechnet werden.
 32 
An Hand des Beispiels M3 wird deutlich, dass für das Finden der Lösungen zwar die üblichen Voraussetzungen
erfüllt sein müssen, aber keine speziell schwierigen. Es gilt der Satz (BRITO C. & PEARL J. (2002), S 464):
(Hinreichende Bedingung für die Identifikation der Modellparameter: Bogenfreies erweitert-rekursives Modell)
Sei M ein bogenfreies erweitert-rekursives Modell, dann können die Modellparameter (-Strukturkoeffizienten
und die Varianzen und Kovarianzen der Störgrößen) auf Grund der Varianzen und Kovarianzen der Variablen
fast immer eindeutig berechnet werden.