Lösungshinweise Theorieaufgaben

4. Übungsblatt
Wintersemester 2009/2010
Prof. Dr. W. Zucchini
Zeitreihenanalyse
- Lösungshinweise Theorieaufgaben Aufgabe 1: Stationarität
a) Erläutern Sie die Begriffe starke und schwache Stationarität.
Für welchen Fall ist
– ein stark stationärer Prozess auch schwach stationär,
– ein schwach stationärer Prozess auch stark stationär?
Eine Zeitreihe ist stark stationär
1. Ordnung, wenn die Verteilung aller Xt identisch ist,
2. Ordnung, wenn die gemeinsame Verteilung von zwei Variablen nur vom
Zeitabstand zwischen den Variablen abhängt,
...
k-ter Ordnung, wenn die gemeinsame Verteilung von k (beliebigen) Variablen nur vom Zeitabstand zwischen den Variablen abhängt.
Eine Zeitreihe ist stark stationär, wenn sie stark stationär von jeder Ordnung
k ist.
Eine Zeitreihe ist schwach stationär, wenn
1.) der Erwartungswert von Xt unabhängig von t ist
2.) die Kovarianz von Xt und Xt+h nur von der Zeitdifferenz h abhängt.
Zwischen starker und schwacher Stationarität gelten die folgenden Zusammenhänge:
- Starke Stationarität impliziert schwache Stationarität.
- Schwache Stationarität und Normalverteilung implizieren starke Stationarität.
b) Betrachten Sie folgenden stochastischen Prozess:
Xt = α0 + α1 t + et
1
; et : white noise
– Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Kovarianzfunktion des
Prozesses. Handelt es sich hierbei um einen (schwach) stationären Prozess?
E(Xt ) = E(α0 + α1 t + et ) = α0 + α1 t
Zur Erläuterung:
Zum Zeitpunkt t = 1 hat die Zufallsvariable den Wert X1 = α0 + α1 · 1 + e1
Zum Zeitpunkt t = 2 hat die Zufallsvariable den Wert X2 = α0 + α1 · 2 + e2
...
allgemein zum Zeitpunkt t hat die Zufallsvariable den Wert Xt = α0 + α1 ·
t + et
Damit ergibt sich für die Erwartungswertbildung
E(X1 ) = E(α0 + α1 · 1 + e1 ) = α0 + α1 · 1
E(X2 ) = E(α0 + α1 · 2 + e2 ) = α0 + α1 · 2
...
und allgemein zum Zeitpunkt t E(Xt ) = E(α0 + α1 · t + et ) = α0 + α1 · t
γ(t, t + h) = Cov(Xt , Xt+h ) = E[(Xt − E(Xt ))(Xt+h − E(Xt+h ))]
= E[(α0 + α1 t + et − α0 − α1 t)(α0 + α1 (t + h) + et+h − α0 − α1 (t + h))]
= E(et et+h )
2
σ für h = 0
=
0
sonst
Die Kovarianzfunktion γ(t, t + h) hängt zwar nur von der Zeitdifferenz h
und nicht von t ab, allerdings ist der Erwartungswert abhängig von t, so
dass es sich hier nicht um einen stationären Prozess handelt (weder schwach
noch stark).
– Wie verhält sich der “differenzierte” Prozess Yt = Xt − Xt−1 ? Bestimmen Sie für Yt den Erwartungswert und die Kovarianzfunktion.
Yt = Xt − Xt−1 = α0 + α1 t + et − α0 − α1 (t − 1) − et−1 = α1 + et − et−1
E(Yt ) = E(α1 + et − et−1 ) = α1
⇒ E(Yt ) hängt nicht von t ab, also ist Yt mittelwertstationär.
2
Cov(Yt , Yt+h ) = E[(Yt − E(Yt ))(Yt+h − E(Yt+h ))]
E[(α1 + et − et−1 − α1 )(α1 + et+h − et+h−1 − α1 )]
E[(et − et−1 )(et+h − et+h−1 )]
E[et et+h − et et+h−1 − et−1 et+h + et−1 et+h−1 ]
E(et et+h ) − E(et et+h−1 ) − E(et−1 et+h ) + E(et−1 et+h−1 )
 2
h=0
 2σ
−σ 2 |h| = 1
=

0
sonst
γ(t, t + h) =
=
=
=
=
3
⇒ γ(t, t + h) hängt nicht von t ab, also ist Yt kovarianzstationär.
⇒ Der differenzierte Prozess Yt = Xt − Xt−1 ist schwach stationär.
c) Gegeben sei folgende Zeitreihe:
Xt = α 0 + e t
; et : white noise
Betrachten Sie die Filterung Yt = 0.2Xt−1 + 0.6Xt + 0.2Xt+1 .
– Bestimmen Sie Erwartungwert und Kovarianzfunktion von Xt und Yt .
E(Xt ) = E(α0 + et ) = α0
γx (h) = Cov(Xt , Xt+h ) = E[(Xt − E(Xt ))(Xt+h − E(Xt+h ))]
= E[(α0 + et − α0 )(α0 + et+h − α0 )]
= E(et et+h )
2
σ h=0
=
0 sonst
E(Yt ) = E(0.2Xt−1 + 0.6Xt + 0.2Xt+1 )
= 0.2 · E(Xt−1 ) + 0.6 · E(Xt ) + 0.2 · E(Xt+1 )
= 0.2 · α0 + 0.6 · α0 + 0.2 · α0 = α0
γy (t, t + h) = Cov(Yt , Yt+h ) = E[(Yt − E(Yt ))(Yt+h E(Yt+h ))]
= E[(0.2(α0 + et−1 ) + 0.6(α0 + et ) + 0.2(α0 + et+1 ) − α0 ) ·
(0.2(α0 + et+h−1 ) + 0.6(α0 + et+h ) + 0.2(α0 + et+h+1 ) − α0 )]
= E[(0.2et−1 + 0.6et + 0.2et+1 )(0.2et+h−1 + 0.6et+h + 0.2et+h+1 )]
= E[0.04et−1 et+h−1 + 0.12et−1 et+h + 0.04et−1 et+h+1 +
0.12et et+h−1 + 0.36et et+h + 0.12et et+h+1 +
0.04et+1 et+h−1 + 0.12et+1 et+h + 0.04et+1 et+h+1 ]

0.44σ 2 h = 0



0.24σ 2 |h| = 1
=
0.04σ 2 |h| = 2



0
sonst
4
– Handelt es sich hierbei um eine erwartungstreue Filterung?
Die Filterung ist erwartungstreu, da E(Yt ) = E(Xt ) = α0 .
– Offensichtlich ist die gefilterte Reihe glatter als die ungefilterte. Woran
macht sich diese Tatsache analytisch bemerkbar?
Die Varianz γy (0) = 0.44 der gefilterten Reihe ist niedriger als die Varianz
γx (0) = 1 der ungefilterten Reihe.
- Lösungshinweise R-Aufgaben in separater Datei -
5