Atome, Moleküle, Kondensierte Materie ¨Ubung 5

Atome, Moleküle, Kondensierte Materie
Übung 5
Sommersemester 2011 Universität Bonn
Abgabe bis Do. 12.5.2011 18:00h
in die Ablagen neben Raum 262 HISKP
Aufgabe 5.1: Kurzfragen (8 Punkte)
Es reicht ein Satz, eine Skizze, ggf. auch Stichwörter.
(a) Gibt es einen physikalischen Grund für die Richtung der Quantisierungsachse ||z (i) im Wasserstoffatom und (ii) beim Zeeman-Effekt?
(b) Warum heißt m Magnetquantenzahl?
(c) Wie unterscheidet sich das vom Spin bewirkte magnetische Moment vom magnetischen Moment aufgrund des Bahndrehimpulses? Wie heißt der Proportionalitätsfaktor?
(d) Wie ist das Bohrsche Magneton µB definiert?
(e) Das durch die Bahndrehbewegung verursachte magnetische Moment µ
~ l ist antiparallel zum
~
Bahndrehimpuls l. Warum?
(f) Wodurch entsteht die Feinstrukturaufspaltung?
(g) Welche Quantenzahlen s, l, j gehören zu den Elektronenkonfigurationen 2 s1/2 sowie 2 d3/2 ?
(h) In der Vorlesung wurde der Zeeman-Effekt experimentell demonstriert. Unter welchen Umständen
wurden statt drei nur zwei Spektrallinie beobachtet und warum?
Aufgabe 5.2: Stern-Gerlach-Versuch (4 Punkte)
Der schematische Aufbau des Stern-Gerlach-Experiments ist
rechts gezeigt: Ein in einem Ofen erzeugter Strahl von Silberatomen durchfliegt ein stark inhomogenes Magnetfeld B||(dB/dz)
mit der Wechselwirkungslänge l. Im Feldgradienten wirkt auf
das magnetische Moment µ eine Kraft, welche zu einer Ablenkung des Atoms führt. Direkt hinter dem Magneten wird eine
Separation s in zwei Teilstrahlen beobachtet.
dB/dz
s
B
l
(a) Was wurde mit dem Experiment von Stern und Gerlach nachgewiesen? Welches Messergebnis
hätte man für einen klassischen Drehimpuls erwartet?
(b) Erstellen Sie ausgehend von der wirkenden Kraft einen Zusammenhang zwischen magnetischen Moment µ des Silberatoms und der beobachteten Aufspaltung s.
(c) In dem Experiment von Stern und Gerlach wurde eine Separation von s = 0.2 mm nach einem
Magnetfeld-Gradienten dB/dz = 10 T/cm mit einer Länge von l = 3.5 cm beobachtet. Die
Silberatome wurden in einem Atomstrahl-Ofen mit einer Temperatur T = 1000 ◦ C erzeugt.
Berechnen Sie den Wert des magnetischen Moments µ der Silberatome und vergleichen Sie
diesen mit dem Bohrschen Magneton µB .
Aufgabe 5.3: Spin-Bahn-Kopplung (5 Punkte)
Durch das Auftreten interner Magnetfelder kann die l-Entartung im ungestörten Wasserstoff-Atom
aufgehoben werden. Die Zustände spalten in Abhängigkeit der Quantenzahlen j, l und s weiter
auf.
(a) Welche der Drehimpulse ~s, ~l, ~j sind ortsfest, welche nicht? Wie verhalten sich die verschiedenen Drehimpulse zueinander?
(b) Zeigen Sie rechnerisch oder graphisch, dass der Gesamtdrehimpuls ~j und das magnetische
Moment µ
~ j nicht parallel sind.
(c) Diese Nichtproportionalität führt dazu, dass µ
~ j um den Gesamtdrehimpuls ~j präzediert.
Messbar ist allerdings nur der zeitliche Mittelwert, die Projektion (~
µj )j von µ
~ j auf ~j:
(~
µj )j = −gj
µB ~
j
h̄
Berechnen Sie den sogenannten Landé-Faktor gj in Abhängigkeit von den Quantenzahlen j,
l und s. Projizieren Sie dafür die gegebene Gleichung auf ~j.
(d) Berechnen Sie das interne Magnetfeld welches die Feinstruktur-Aufspaltung des 2p-Zustandes
verursacht. Benutzen Sie dafür das Ergebnis von Aufgabe 4.5 und die folgende Formel:
~l =
B
eµB ~
l
4πr3 me
(e) Wie hängt die Feinstruktur-Aufspaltung in einem Wasserstoff-ähnlichen System von der
Kernladung Z und der Hauptquantenzahl n ab? Was gilt also für das interne Magnetfeld
schwerer Atome?
Aufgabe 5.4: Feinstruktur- und Zeeman-Aufspaltung (3 Punkte)
Wir betrachten das 1s- und das 2p-Niveau in einem Wasserstoff-Atom.
(a) Durch die Spin-Bahn-Kopplung spalten sich die Niveaus gemäß der in der Vorlesung hergeleiteten Formel auf:
a
Ej,l,s = [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]
2
Zeichnen Sie die aufgespaltenen Niveaus in Relation zu den ungestörten Niveaus und beschriften Sie diese mit den jeweiligen Quantenzahlen und der Energiedifferenzen. Für das
2p-Orbital ist a = 11.2 µeV.
(b) Zusätzlich wird nun ein schwaches externes Magnetfeld B = 25 mT angelegt. Wegen des
Zeeman-Effekts kommt es zu einer weiteren Aufspaltung, deren Stärke nur vom angelegten Feld abhängt: ∆E = gs µB B. Ergänzen Sie in Ihre Skizze die zusätzlichen Niveaus und
beschriften Sie diese mit den zugehörigen Quantenzahlen. Geben Sie die jeweiligen Energiedifferenzen an.
(c) Zeichnen Sie alle optisch erlaubten Übergänge zwischen dem 2p1/2 - und dem 1s1/2 -Niveau ein.
Wie hängt die Differenz der Quantenzahlen mit der Polarisierungsrichtung des emittierten
Photons zusammen?