¨Ubungen zur Einführung in die Astronomie Anwesenheitsübungen VI
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ab 26. November 2013 1 Übungen zur Einführung in die Astronomie PD Dr. J. Kerp Anwesenheitsübungen VI Aufgabe 1: Auflösungsvermögen und Wellenlängen 1. Wie berechnet sich das Auflösungsvermögen eines Teleskops bei einer bestimmten Wellenlänge? 2. Schätze das Auflösungsvermögen des Auges ab (λ = 500 nm). 3. Was ist Seeing? Wie groß ist es typischerweise? Wie kann man ihm entgegenwirken? 4. Welche Größe müsste die Öffnung eines optischen Teleskopes haben, um für einen Stern an die natürliche Grenze des Seeings zu gelangen? Weshalb ist das Seeing bei solaren Planeten weniger problematisch? 5. Berechne das Auflösungsvermögen der folgenden Teleskope: • VLT (D = 8m, λ = 5500Å) • Effelsberg (D = 100m, λ = 6cm) • VLBI (D = 5000km, λ = 3mm) 6. Der sonnenähnliche Stern 51 Peg (Entfernung ca. 15 pc) wird von einem Planeten (≈ 0,5 MJupiter ) umkreist, dessen Bahnebene der Einfachheit halber senkrecht zur Sichtlinie stehe, und dessen maximaler Abstand von 51 Peg 0,052 AU beträgt. Welchen Durchmesser müsste ein Teleskop bei λ = 500 nm haben, um dieses System auflösen zu können? Aufgabe 2: Strahlungsgrößen spezifische Strahlungsintensität (z.B. Iν = B(ν, T )) Gesamtintensität I= spezifischer Strahlungsfluß Sν = R∞ Iν dν [I] = 0 R Iν cos θdΩ Iν isotrop = πIν Gesamtfluß Leuchtkraft S= L= R0 Sν dν = R I cos θdΩ HR SdA W m2 ster [Sν ] = HR R∞ W m2 Hz ster [Iν ] = [S] = W m2 Hz W m2 [L] = W 1. Zeige, dass das Stefan-Boltzmann-Gesetz gilt: S(T ) = σT 4 Was ist der Wert der Stefan-Boltzmann-Konstanten σ? R∞ x3 4 Hinweis: ex −1 dx = π15 0 2. Bestimme die Leuchtkraft eines Sterns in Abhängigkeit von seinem Radius und seiner Temperatur. Hinweis: Zur Veranschaulichung betrachte die folgende Skizze. 2 Figure 1: Strahlung in einem Raumwinkelelement in Kugelkoordinaten Aufgabe 3: Wiensches Verschiebungsgesetz Die Planck-Funktion als Funktion der Wellenlänge ist gegeben durch: 2hc2 hc B(λ, T )dλ = 5 exp λ kλT −1 −1 dλ Die Position des Maximums λmax in Abhängigkeit von der Temperatur des Schwarzen Strahlers wird durch das Wiensche Verschiebungsgesetz gegeben: λmax T = a Dabei ist a = hc kxm . Beweise dies, indem Du (aus der Wienschen Näherung) die Lage des Maximums von B(λ, T ) bestimmst. Du erhältst dabei für xm den ganzzahligen Wert 5 anstelle des aus der numerischen Integration bestimmten genaueren Wert xm = 4.9651 aus der Planck-Funktion. Hinweis: Die Wiensche Näherung als Funktion der Wellenlänge lautet B(λ, T ) = 2hc2 λ5 hc exp − kλT Aufgabe 4: Die Sonne 1. In welchem Wellenlängenbereich befindet sich das Strahlungsmaximum der Sonne? 2. Wenn sich die effektive Oberflächentemperatur der Sonne bei gleichbleibendem Sonnenradius verdoppeln würde: (a) Wie würde sich die Gesamtstrahlung der Sonne pro Zeiteinheit, also ihre Leuchtkraft, verändern? (b) Bei welcher Wellenlänge wäre dann das Maximum der Strahlung zu erwarten?
