Blatt 8 - Universität Bielefeld

Universität Bielefeld
Prof. Dr. Thomas Dahm
Bielefeld, den 7.6.2016
Übungen zur Theoretischen Festkörperphysik
SS 2016
Blatt 8
Aufgabe 17: Pauli-Paramagnetismus
Betrachten Sie ein System wechselwirkungsfreier Elektronen in einem äußeren Magnet~ = Bêz , wobei das Magnetfeld nur an den Elektronenspin koppeln soll. In zweiter
feld B
Quantisierung lautet der Hamiltonoperator dann
X †
Ĥ =
k ck,σ ck,σ − B M̂z
k,σ
wobei
M̂z = −µB
X
c†k,↑ ck,↑
−
c†k,↓ ck,↓
k
der Operator des magnetischen Momentes der Elektronen ist und µB = e~/2me das
Bohrsche Magneton.
a) Berechnen Sie die Magnetisierung M = hM̂z i des Systems, d.h. den thermischen
Erwartungswert des magnetischen Momentes, als Funktion von Magnetfeld B und Temperatur T im Grenzfall kleiner B und T .
des Systems. Zeigen Sie,
b) Berechnen Sie die magnetische Suszeptibilität χPauli = ∂M
∂B
dass sich für tiefe Temperaturen ergibt
χPauli = 2µ2B ρ0 (F )
wobei ρ0 (F ) die Zustandsdichte an der Fermikante ist.
Aufgabe 18: Thomas-Fermi-Abschirmung
Betrachten Sie eine Punktladung Q, die sich am Ort ~r = 0 eines Festkörpers (Metall
oder Halbleiter) befinde. Die freien Elektronen werden das Potential dieser Punktladung
abschirmen. Wir wollen annehmen, dass das abgeschirmte Potential schwach ist, und
dass es langsam auf der Skala der Fermi-Wellenlänge variiert. Ihre Aufgabe besteht im
Folgenden darin, zu zeigen, dass das abgeschirmte Potential die Gestalt
φ(~r) =
Q e−r/λ
4π r
hat, und die Abschirmlänge λ zu bestimmen.
(a) Weil das Potential φ(~r) sich räumlich nur langsam ändert, ist es eine vernünftige
Annahme, dass die Energie eines Elektrons am Ort ~r gegeben ist durch
E~k (~r) = E~k − eφ(~r) , E~k =
~2~k 2
2m
Die Teilchenzahldichte der Elektronen werde in φ(~r) linearisiert:
Z
1
1
∂n0 (µ)
n(~r) = 3 d3 k β(E −eφ(~r)−µ)
= n0 (µ) +
eφ(~r) + . . . ,
4π
∂µ
e ~k
+1
wobei das chemische Potential µ aus der Bedingung
Z
N
1
1
=
n0 (µ) = 3 d3 k β(E −µ)
4π
V
e ~k
+1
(1)
bestimmt werden muss. Wie groß ist die gesamte Ladungsdichte ρ(~r), d.h. die Ladungsdichte der Punktladung Q, des ionischen Hintergrundes, und der freien Elektronen? Nehmen Sie dabei an, dass der ionische Hintergrund eine konstante, homogene Ladungsverteilung habe.
(b) Setzen Sie die in φ(~r) linearisierte Ladungsdichte ρ(~r) in die Poisson-Gleichung
~ 2 φ(~r) = − 1 ρ(~r)
∇
ein, wobei die dielektrische Konstante des ionischen Hintergrunds ist und lösen Sie sie
mit Hilfe einer Fourier-Transformation, die für eine beliebige Funktion f (~r) die Gestalt
hat
Z
Z
1
~
~
3
i
k~
r
f (~r) =
d k f (~k)e , f (~k) = d3 r f (~r)e−ik~r .
3
(2π)
Welches Ergebnis erhalten Sie für das Fourier-transformierte Potential, φ(~k)? Dabei ist
es günstig, die Größe
e2 ∂n0 (µ)
κ2 =
∂µ
einzuführen.
Beweisen Sie zuerst eine (oder, wenn Sie können, beide) der Identitäten
Z
~
3
dk
eik~r
~k 2 + p2
= 2π
2e
−pr
r
Z
,
d3 r
e−pr −i~k~r
4π
e
= 2
,
r
p + k2
wobei der Parameter p positiv ist, und bestimmen Sie das Potential φ(~r) im Ortsraum.
Welche Beziehung ergibt sich zwischen der Abschirmlänge λ und κ?
(c) Debye-Hückel Abschirmlänge. Betrachten Sie den klassischen Limes, in dem die FermiDirac-Verteilung in Gl. (1) durch die Boltzmann-Verteilung ersetzt werden kann. Was
finden Sie für λ in diesem Grenzfall?
Thomas-Fermi Abschirmlänge. Betrachten Sie den Fall tiefer Temperaturen, in dem
die Fermi-Dirac-Verteilung näherungsweise als eine Stufen-Funktion dargestellt werden
kann. In anderen Worten: es sind alle Zustände mit Energie E~k < µ besetzt und die
Zustände mit E~k > µ unbesetzt. Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Näherung die Funktionen n0 (µ) und ∂n0 (µ)/∂µ aus Gleichung (1), und daraus schliesslich die Abschirmlänge
λ.
(d) Bestimmen Sie den Gültigkeitsbereich der Thomas-Fermi-Näherung indem Sie die
Thomas-Fermi Abschirmlänge mit der Fermi-Wellenlänge λF = (3π22π
vergleichen.
n0 )1/3
Formulieren Sie diese Bedingung insbesondere mit Hilfe der Dichte n0 der freien Elektronen und machen Sie eine numerische Abschätzung.
Besprechung erst ab 21.6.2016