H LW G raz M athem atikFormelsammlung Wahrscheinlichkeit

Mathematik
Angewandte
Formelsammlung Wahrscheinlichkeit
Klassische Wahrscheinlichkeit
P (E) =
Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Seien A und B beliebige Ereignisse und ¬A das Gegenereignis von A. Dann gilt:
• 0 ≤ P (A) ≤ 1
• P (¬A) = 1 − P (A)
HLW Graz
• P (A ∨ B) = P (A) + P (B), wenn A und B einander ausschließen
• P (A ∨ B) = P (A) + P (B) − P (A ∧ B)
• P (A ∧ B) = P (A) · P (B), wenn A und B unabhängig sind
• P (A ∧ B) = P (A) · P (B|A)
P (B|A) · P (A)
Satz von BAYES
P (B)
wobei P (B) = P (A) · P (B|A) + P (¬A) · P (B|¬A)
• P (A|B) =
Zufallsvariable
Sei X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte x1 , x2 , . . . , xn annehmen kann.
• Erwartungswert von X:
E(X) = µ = x1 ·P (X = x1 )+x2 ·P (X = x2 )+. . .+xn ·P (X = xn ) =
n
X
xi ·P (X = xi )
i=1
• Varianz von X: V (X) = σ 2 =
n
X
(xi − µ)2 · P (X = xi )
i=1
• Standardabweichung von X: σ =
q
V (X)
Binomialverteilung
Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n und p.
(n . . . Anzahl der Versuche, Stichprobenumfang; p . . . „Erfolgs“-Wahrscheinlichkeit)
• Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge: P (X = k) =
wobei
n
k
=
n!
k!·(n−k)!
n
k
· pk · (1 − p)n−k
mit n! = 1 · 2 · 3 · . . . n und 0! = 1
• Erwartungswert und Varianz: µ = n · p
σ 2 = n · p · (1 − p)