Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für
Studierende der Informatik
PD Dr. U. Ludwig
Vorlesung 9
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§3.3 Die hypergeometrische Verteilung
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Dichotome Urne: Ziehen ohne Zurücklegen (Wdh. von
letztem Mal)
Beispiel
Experiment: Eine Urne enthalte N Kugeln, S schwarze und W
weiße; N = S + W . Wir ziehen n < N Kugeln aus der Urne
ohne Zurücklegen.
X sei die Zufallsvariable, die die Anzahl der gezogenen
schwarzen Kugeln angibt.
Es gilt
p(X = k) =
S
k
N−S
n−k
N
n
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Hypergeometrische Verteilung (Wdh. von letztem Mal)
Definition 3.13.
Eine diskrete Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch-verteilt mit
den Parametern N, S und n, wenn für 0 ≤ k ≤ n gilt
S N−S
p(X = k) =
k
n−k
N
n
.
Wir schreiben kurz: X ist H(N, S, n)-verteilt.
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Erwartungswert und Varianz der hypergeometrischen
Verteilung
Satz 3.15.
Sei X eine H(N, S, n)-verteilte Zufallsvariable. Sei p :=
gilt für
S
N.
Dann
den Erwartungswert E (X ) = n · p
und für die Varianz
Var (X ) = n · p (1 − p) ·
N −n
.
N −1
Erwartungswert bei hypergeometrischer und Binomialverteilung
sind gleich. Die Varianz unterscheidet sich umso mehr, je
näher n an N ist. Für n << N kann die hypergeometrische
Verteilung durch die Binomialverteilung approximiert werden.
Ist n = N so gilt E (X ) = S und Var (X ) = 0, denn man
erwischt dann ja alle S Kugeln!
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Vergleich zwischen Binomial- und hypergeometrischer
Verteilung
Beispiel
10 Losverkäufer verkaufen Lose. Jeder hat 50 Lose in seiner
Schachtel, 20 davon sind Gewinne. Sie wollen 10 Lose kaufen.
Ist Ihre Gewinnchance größer, wenn Sie alle Lose bei
demselben Verkäufer kaufen, oder wenn Sie bei jedem
Verkäufer nur ein Los kaufen.
Kaufen bei allen Verkäufern ist binomialverteilt.
Kaufen bei einem Verkäufer ist hypergeometrisch verteilt.
Beide Male ist der Erwartungswert des Gewinns 4. Varianz bei
einem Verkäufer ist 1, 96, bei mehreren 2, 4.
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§3.4 Die Poisson-Verteilung
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Definition 3.17.
Eine diskrete Zufallsvariable X heißt Poisson-verteilt mit dem
Parameter λ > 0, wenn für k ∈ N0 gilt:
p(X = k) =
λk −λ
e .
k!
Wir sagen kurz: X ist P(λ)−verteilt.
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Satz 3.18.
Ist X P(λ)-verteilt, so gilt für den Erwartungswert bzw. die Varianz
E (X ) = λ,
bzw.
Var (X ) = λ.
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Approximation der Binomialverteilung durch die
Poisson-Verteilung
Faustregel: Für p ≤ 0.1 und n ≥ 100 kann man die
Bn,p -Verteilung durch die Poisson-Verteilung annähern:
Bemerkungen 3.19.
Sei µ = np, d.h. p =
µ
. Dann gilt:
n
n k
Bn,p (k) =
p (1 − p)n−k
k
=
1
1−
µ
n
1−
·
1−
1
n
µ
n
1−
·
1−
2
n
µ
n
1 − k−1
µk µ n
n
· ... ·
·
· 1−
1 − µn
k!
n
Daraus ergibt sich für n → ∞ die Poisson-Näherung
Bn,p (k) ≈ e −µ
µk
.
k!
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Übung
Beispiel 3.20.
In einen Teig werden 250 Rosinen geknetet und dann daraus 200
Hörnchen gebacken. Wir wählen ein Hörnchen beliebig aus. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit enthält es genau 2 Rosinen?
1
Es liegt eine Binomial-Verteilung mit n = 250 und p =
vor.
200
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
1 2 199 248
250
B250, 1 (2) =
≈ 0.22448.
200
2
200
200
Verwenden wir die Poisson-Näherung, so erhalten wir
B250,
1
200
(2) ≈ e −1.25
1.252
≈ 0.22383 .
2!
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Stetige Verteilungen
Die Exponentialverteilung
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Exponentialverteilung
Definition
Eine stetige Zufallsvariable mit Dichtefunktion
f : R → R
x
7→ f (x) :=
λe −λx
0
x ≥0
x <0
heißt exponentialverteilt mit Parameter λ > 0.
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Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung
Definition
Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ > 0.
Dann gilt
Der Erwartungswert ist
E (X ) =
1
.
λ
Die Verteilungsfunktion ist
F : R → R
Rx
x 7→ F (x) = p(X ≤ x) = −∞ f (t)dt
=
0
1 − e −λx
x < 0,
x ≥ 0.
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Bemerkungen zur Exponentialverteilung und Anwendung
ist die stetige Variante der geometrischen Verteilung
beschreibt die Wartezeit bis zum Eintreten eines Ereignisses
Eine exponentialverteilte Zufallsvariable ist gedächtnislos, d.h. es
gilt
p(X ≥ s + t | X ≥ s) = p(X ≥ t).
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Übung: Ermüdungsfreie Bauteile
Der Hersteller einer Festplatte gibt als mittlere Zeit bis zum Ausfall,
die Mean Time To Failure (MTTF) einen Wert von 70 Jahren an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Festplatte im
nächsten Jahr ausfällt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 50 Rechnern alle
Festplatten ein Jahr ohne Ausfall überstehen?
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Organisatorisches: Tutoratstermine
Es finden Tutorate statt:
bis einschließlich Dienstag 22.12
die Tutorate beginnen im neuen Jahr, ab Donnerstag 07.01
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