Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen

Beispiel 2: Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen (händisch)
Zwei Würfel Y, Z werden geworfen. X sei die kleinere der beiden Augenzahlen. Berechne
a) Erwartungswert der Variablen X.
b) Varianz der Variablen X.
Lösung
•
Aufstellen der bivariaten Verteilung (mit den univariaten Randverteilungen);
Wobei hier keine Rand“verteilungen“, sondern Rand“ausprägungen“.
Y→
Z↓
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
3
3
3
3
1
2
3
4
4
4
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
5
6
(die Zellen enthalten den Wert der Variablen X, also immer die kleinere der beiden
gewürfelten Zahlen).
•
Jede Zelle hat Wahrscheinlichkeit p = 1/6 * 1/6 = 1/36
•
Tabelle (durch abzählen): Welche Ausprägung xi der Zufallsvariable X hat welche
Wahrscheinlichkeit?
xi
1
2
3
4
5
6
Anz. der Auspräg
11
9
7
5
3
1
Summe:
36
pi = f(x)
0.31
0.25
0.19
0.14
0.08
0.03
1
x f(x)
0.31
0.5
0.58
0.56
0.42
0.17
Erwartungswert:
k
k
E( X ) = ∑ x j ⋅ f (x j ) = ∑ x j ⋅ p j = 1⋅
j =1
j =1
11
9
7
+ 2 ⋅ + 3 ⋅ + ... = 2.53
36
36
36
Varianz:
σ X2 = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 =
k
= ∑ x 2j ⋅ p j − 2.53 2 =
j =1
11
9
7
5
+ 2 2 ⋅ + 3 2 ⋅ + ⋅4 2
+ ...) − 2.53 2 =
36
36
36
36
= 1.971
= (12 ⋅
(oder mit anderer Formel):
k
σ X2 = E[( X − µ x ) 2 ] = ∑ Pj ⋅ ( x j − µ x ) 2 =
j =1
= 0.31 ⋅ (1 − 2.53)
2
+ 0.19 ⋅ (3 − 2.53) 2
= 1.971
+ 0.25 ⋅ (2 − 2.53) 2
+ 0.14 ⋅ (2 − 2.53) 2
+ ....